proiezione lineare

[klodette89]

ah,ok. Non mi è chiaro "far vedere che l'immagine è contenuta in $U$
Per l'unicità, si può mostrare procedendo per assurdo?

[Pappappero]

Beh, per definizione di base, $U$ e' spannato da $u_1 , ... , u_s$. Ora, per ogni $v \in V$, l'immagine $\pi(v)$ e' spannata da $u_1, ... , u_s$ quindi e' contenuta in $U$.

Per l'unicita', ripeto

Quindi dobbiamo chiederci: cosa abbiamo usato per definire questa applicazione?

[klodette89]

ok.
Abbiamo usato $v_i$ della $B_V$

[Pappappero]

Esattamente, quindi cosa succede se completiamo la base $u_1 , .. , u_s$ di $U$ con dei $w_{s+1},...,w_{n}$ diversi da $v_{s+1},...,v_{n}$ che abbiamo usato prima? Come cambiano le coordinate di un vettore $v \in V$.

[klodette89]

$ \pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i w_i $? giusto? perchè invece dei $v_i$ ho i $w_i$?
Cioè $ v = \sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i w_i $?

[Pappappero]

Attento. Non abbiamo toccato la base di $U$. Abbiamo cambiato solo i vettori del completamento. La nostra proiezione deve ancora proiettare su $U$.

Ma come cambiano le coordinate di $v \in V$? (lasciando perdere la proiezione...abbiamo cambiato base, quindi le coordinate cambieranno: ci chiediamo come cambiano).

[klodette89]

Ma la $B_U={u_1,....,u_s}$ e la proiezione è $ \pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i $. Come posso fare?
$B_V={u_1,....,u_s,v_(s+1),.....v_n}$ e quindi non cambierebbe la base di $V$ che diventerebbe $B_V={u_1,....,u_s,w_(s+1),.....,w_n}$?

[Pappappero]

La proiezione $\pi$ dipende dalla base che abbiamo scelto $u_1,...,u_s,v_{s+1},...,v_n$ ed e' $\pi(v) = \sum \lambda_i u_i$, dove le $\lambda_i$ sono le coordinate di $v$ nelle direzioni delle $u_i$ nella base scelta.

Ora cambiamo base, non a caso, ma cambiando solo il completamento. Consideriamo quindi la base $u_1,...,u_s,w_{s+1},...,w_n$ (con le $w_j$ diverse dalle $v_j$). A questo punto le coordinate cambieranno. Se prima $v = \sum \lambda_i u_i + \sum \lambda_i v_i$, adesso, lo stesso $v$ avra' coordinate diverse (in tutti i vettori); ad esempio sara' $v = \sum \mu_i u_i + \sum \mu_i w_i$.

Definiamo una diversa proiezione, che dipende da questa nuova base, e la chiamiamo $\rho$, definita come $\rho (v) = \sum \mu_i u_i$, dove le $\mu_i$ sono le coordinate nelle direzioni delle $u_i$ nella nuova base.

Ora vogliamo dimostrare che $\rho \ne \pi$. Quindi vogliamo in qualche modo osservare che le $\lambda_i$ sono diverse dalle $\mu_i$. Quindi bisogna capire come cambiano queste coordinate.

Prova a farti un esempio in $\mathbb{R}^2$ con $s = 1$; consideriamo $u_1 = (1,0)$, $v_2 = (0,1)$ e $w_2 = (1,1)$. Prendiamo un vettore $v = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 v_2 = \mu_1 u_1 + \mu_2 u_2$ e prova a vedere che relazione c'e' tra le $\lambda$ e le $\mu$.

[klodette89]

Ok..ora mi è tutto chiaro c'era un errore nella scrittura prima.
Grazie mille