Classificazione dei sistemi dinamici lineari & rotazione delle configurazioni

[Gioele96]

Ciao a tutti, sono uno studente dell'ultimo anno di liceo. Per la maturità sto preparando una mini tesi riguardo le oscillazioni e il caos legate alle equazioni differenziali ordinarie. Una sezione del mio lavoro è la classificazione dei sistemi dinamici in base ai loro autovalori. Il mio problema è il seguente:
Per esemplificare la configurazione derivante dal punto fisso denominato centro ho inserito la matrice:
\begin{pmatrix}
3 & -2
\\ 9 &-3
\end{pmatrix}
i cui autovalori sono $ \lambda_{1,2}=\pm 3i$ e gli autovettori
$\vec{v}_{1,2}$=\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\1
\end{pmatrix}$+i $\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\0
\end{pmatrix}.
Il ritratto di fase inerente questo sistema lineare è rappresentato da delle ellissi ruotate in un certo modo rispetto agli assi x e y. La mia domanda è: come posso spiegare questa rotazione? A cosa è dovuta? So che in un qualche modo centrano gli autovettori in quanto, dato che la matrice non è diagonale, fungono da, tra virgolette, vettori di base su cui è "costruita" la configurazione. Ho rappresentato l'EDO con GeoGebra inserendo anche l'equazione della parte reale degli autovettori per vedere cosa succede. Il risultato? l'autovettore \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\1
\end{pmatrix}
è quasi coincidente con il semiasse maggiore delle ellissi. L'imprecisione è dovuta ad una approssimazione del programma? O c'è dell'altro riguardo la teoria della classificazione dei sistemi dinamici lineari che dovrei sapere?
Purtroppo non so come inserire le immagini sennò avrei postato la figura delle ellissi con l'autovettore; casomai se qualcuno mi dicesse come si fa la metterei in modo da rendere magari più chiara la situazione.
Spero di essere riuscito a spiegarmi in maniera adatta, se mancano particolari essenziali fatemi sapere.
Grazie mille sin d'ora a chiunque mi risponderà!!!

[j18eos]

Caro Giole: benvenuto!

Complimenti per la scelta dell'argomento di tesina non facile;
penso che tu abbia studiato un sistema dinamico \(\displaystyle2\times2\) del tipo:
\[
\mathbf{x}^{\prime}=\mathrm{A}\mathbf{x},
\]
ma non capisco chi siano gli autovettori...

[Gioele96]

Esatto, il tipo di sistema dinamico è esattamente quello. Effettivamente non sono riuscito a scrivere gli autovettori in modo molto comprensibile perché me li ha separati mettendo la parte immaginaria a capo. Provo a riscriverli così:
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} + i\frac{1}{3} \\
1
\end{pmatrix}, il primo e
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} - i\frac{1}{3} \\
1
\end{pmatrix}
il secondo
Per cui posso dividerli in una parte reale
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\
1
\end{pmatrix},
sommata ad una immaginaria:\begin{pmatrix}
\pm i \frac{1}{3} \\
0
\end{pmatrix}.
Sennò si capisce la mia richiesta?

[dissonance]

Per capire cosa succede, considera il sistema dinamico con orbite circolari \(y'=\begin{bmatrix} & 1\\ -1 & \end{bmatrix}y\). Scrivi un cambio lineare di variabili \(x=Ty\). Determina \(T\) in modo tale che il sistema dinamico della \(x\) sia esattamente quello da cui sei partito.

In questo modo avrai rappresentato le orbite del tuo sistema dinamico nella coordinata \(x\) come immagini della trasformazione \(T\) applicata alle circonferenze. Come hai già immaginato, \(T\) sarà la composizione di una rotazione e di un riscalamento degli assi. Scalando gli assi e ruotando, una circonferenza diventa una ellisse "storta".

[Gioele96]

Non riesco a capire come legare quanto mi dici con quello che ho bisogno, ma credo che il problema è semplicemente che non ho capito molto bene cosa vuoi farmi fare.
Più nel dettaglio: cosa intendi quando dici di determinare $T$ in modo tale che il sistema dinamico della $x$ sia esattamente quello da cui sono partito?
Tra l'altro ho visto come inserire immagini: le orbite si presentano così:

dove la retta rossa è una funzione $y=3x$ che corrisponde alla pendenza dell'autovalore \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 1\end{pmatrix}.
Come si vede nell'immagine, non coincide perfettamente con il semiasse maggiore. Perché?

[j18eos]

Sostanzialmente dissonance, ti ha detto di ruotare gli assi (coordinati) colorati sugli assi (coordinati) neri, e cambiare l'unità di misura!

[Gioele96]

D'accordo: fino a qua ci sono. Il mio problema a questo punto è capire come: in base a cosa devo ruotare gli assi dell'ellisse "diritta" per avere quella "storta"?
Credo che questo mi sia stato spiegato da Dissonance, ma a dire la verità non avevo capito molto. Ti farebbe niente provare a rispiegarmi per favore? Grazie mille !!

[j18eos]

...in base a cosa devo ruotare gli assi dell'ellisse "diritta" per avere quella "storta"?...

Che significa?, cioè, è come avere un quadro storto e domandarsi il perché lo si vuole mettere dritto e in che maniera!

[dissonance]

...in base a cosa devo ruotare gli assi dell'ellisse "diritta" per avere quella "storta"?...

Che significa?, cioè, è come avere un quadro storto e domandarsi il perché lo si vuole mettere dritto e in che maniera!

L'unica maniera di chiudere questo topic è fare i conti necessari. In questi giorni di festa non ho granché tempo quindi lascio uno spunto. Sappiamo che $x'=Ax$. Consideriamo un nuovo sistema di coordinate $y=(x_1, y_2)$, legato a $x$ dalla relazione lineare $x=Ty$. Nelle coordinate $y$ scriviamo il sistema dinamico
\[
y'=\begin{bmatrix} & -1 \\ 1 & \end{bmatrix}y = Cy,
\]
le cui orbite sono delle circonferenze.

Qual è la relazione tra $A$ e $C$?

Per rispondere a questa domanda differenziamo la relazione tra $x$ e $y$, ottenendo
\[
x'=Ty'=TCy,
\]
ma d'altra parte sappiamo che $x'=Ax=ATy$, perciò
\[
ATy=TCy.\]
Questo deve valere per ogni $y$, quindi l'equazione che lega $A$ e $C$ è
\[
AT=TC.\]
Si tratta ora di risolvere esplicitamente questa equazione nell'incognita $T$ (una matrice \(2\times 2\)). Fatto questo si chiarirà la natura delle orbite del sistema $x$, visto che esse sono legate alle circonferenze dalla relazione $x=Ty$.

[Gioele96]

Perfetto: dovrei essere riuscito a capire quello che hai fatto. La matrice che $T$ che ne risulta (salvo l'aggiunta di una costante per far quadrare i conti) è data da

T=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} &\frac{1}{3} \\1&0 \end{pmatrix}

le cui colonne sono la parte reale e quella immaginaria di un autovettore della matrice $A$: infatti \begin{pmatrix} 3 &-2 \\9&-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{3} &\frac{1}{3} \\1&0 \end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix} \frac{1}{3} &\frac{1}{3} \\1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &-1 \\1&0 \end{pmatrix}
(le due matrici una sopra l'altra sono moltiplicate fra loro e il -3 moltiplica la matrice T)

Questo conferma la mia idea iniziale secondo la quale c'è una relazione fra il semiasse maggiore dell'ellisse e la pendenza della parte reale dell'autovettore. Il problema a questo punto è: perché rappresentando la situazione con Geogebra, la configurazione che ne risulta è questa?

In questa simulazione il semiasse maggiore e la retta rossa (pendenza dell'autovettore) non coincidono...