Sistema lineare Ax=B

[betti92]

Ciao a tutti !! Dopo che l'altro esercizio postato è stato confermato esatto, posto la seconda sulle tre possibili tipologie di compito d'esame. Potreste,gentilmente, dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio ?

Discutere al variare del parametro K il sistema lineare Ax=B
A= $((k,2k-1,k+2),(0,k-1,k-3),(k,3k-2,3k+1))$
B= $((1),(k+1),(2-k))$

1)calcolo il determinante (prima semplifico la prima colonna di A per k
det(A)= K* (K^2 + k -2)
quindi per K diverso da 0,1,-2 il det è diverso da 0 quindi la caratteristica è 3 e per il teorema di Kronecker la Caratteristica di A completa con b = 3. Esiste dunque 1 soluzione per il teorema di Rouche-Capelli

2) per K=0,1,-2 caratteristica è 2 perchè il determinante della sottomatrice 2x2 è diverso da 0. Per il teorema anche la car di B è 2 . Esistono $oo$^3-2 quindi $oo$^1

Il procedimento è giusto ?

Grazie in anticipo

[stormy]

Per il teorema anche la car di B è 2

???????????????
devi valutare la matrice completa
effettivamente per $k=0$ ,se non ho sbagliato i calcoli,anche il rango della matrice completa è $2$ e quindi il sistema è indeterminato
ma,ad esempio,per $k=1$ mi risulta che il rango della matrice completa sia $3$ e quindi il sistema è impossibile
lascio a te la verifica dell'altro valore

[betti92]

Per valutare la matrice completa sostituisco b in una colonna della A giusto ? (perchè il rango non può essere 4)
Quindi per k=1
A= $((1,1,1),(0,0,2),(1,1,1))$

il determinante a me risulta sempre 0 quindi nella sottromatrice 2x2 il rango mi risulta 2. Non risulta 3 come scritto da te. Sbaglio qualcosa io ?

Per K=-2 effettivamente per la matrice completa mi risulta determinante diverso da 0 quindi rango =3.

Il procedimento per la matrice completa è quello sopra-scritto di sostituire la b in una colonna della A ?

[stormy]

Per valutare la matrice completa sostituisco b in una colonna della A giusto ?

no,la matrice completa si ottiene affiancando la colonna dei termini noti alle colonne di $A$
ovviamente,di questa matrice non si può calcolare il determinante(perchè non è quadrata),ma si può valutarne il rango

[betti92]

Si però il rango lo calcolo sempre calcolando il rango di una 3x3 eliminando una colonna della A ? altrimenti come lo calcolo il rango ?

E per k=1 confermi che il determinante risulta 0 come ho detto io e non diverso come detto da te ? Altrimenti vuol dire che non so su quale valori della matrice calcolarlo

[vict85]

Il calcolo del rango ha senso su matrici di qualsiasi dimensione. Devi ridurre la matrice per righe.

[stormy]

Si però il rango lo calcolo sempre calcolando il rango di una 3x3 eliminando una colonna della A ? altrimenti come lo calcolo il rango ?

E per k=1 confermi che il determinante risulta 0 come ho detto io e non diverso come detto da te ? Altrimenti vuol dire che non so su quale valori della matrice calcolarlo

per $k=1$ la matrice completa è
$ Aprime =( ( 1 , 1 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , -2 , 2 ),( 1 , 1 , 4 , 1 ) ) $
la sua sottomatrice formata dalle ultime tre colonne ha determinante diverso da zero
quindi,il rango di $ Aprime $ è $3$

[betti92]

Il calcolo del rango ha senso su matrici di qualsiasi dimensione. Devi ridurre la matrice per righe.

Per righe ?

Stormy grazie

[vict85]

Si, è un modo per calcolare il rango. Sei più abituato a farlo per colonne? È uguale.

[betti92]

Ahah si si meglio per colonne
ok grazie mille !