[RISOLTO] posizione reciproca: rette intersecate**non riesco a capire...

[simo954]

non riesco a capire come risolvere il seguente problema
date due rette r e s di equazioni:

r= $ { ( x=5-5t ),( y=t ),( z=-1+2t ):} $ s= $ { ( x=3t ),( y=1+2t ),( z=t+1 ):} $

determinare se sono parallele, incidenti o sghembe e, nel caso di incidenti, trovare il punto in cui si intersecano

la prima cosa che ho fatto è stata trovarmi i vettori che vanno a formare i due sistemi parametrici ottenendo

r: v= $ ( ( 5 ),( 0 ),( -1 ) ) $ + t$ ( ( -5 ),( 1 ),( 2 ) ) $ e s: v= $ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ + t $ ( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) $

(da ora in poi penserò alle due equazioni parametriche scritte come r: v= $ v_0+tv_1 $ e s: v= $ v_0'+t'v_1' $)

per vedere se sono parallele, incidenti o sghembe mi sono calcolato il rango della matrice $ ( ( -5 , 3 ),( 1 , 2 ),( 2 , 1 ) ) $
(cioè $ rk(v_1,v_1') $ ) e quello della matrice $ ( ( -5 , 3 , -5 ),( 1 , 2, 1 ),( 2 , 1, 2 )) $ (cioè $ rk(v_1,v_1', v_0'-v_0) $ )

e il risultato di entrambi è $ 2 $, quindi le rette r e s sono incidenti

il problema sorge ora...per trovare il punto di intersezione cosa devo fare?

[simo954]

per trovare il punto di intersezione avevo pensato di unire il sistema di r con quello di s, cioè di fare
$ { ( 5-5t=3t ),( t=1+2t ),( -1+2t=t+1 ):} $

ma non credo sia il modo giusto per risolvere il problema...

[Camillo]

Quando metti a sistema le equazioni parametriche delle due rette per trovare le coordinate del punto di intersezione non puoi usare lo stesso parametro per entrambe ( perché hanno un significato diverso ) ... per una usa pure $t $ ma per l'altra ad es. $s$...

[simo954]

Quando metti a sistema le equazioni parametriche delle due rette per trovare le coordinate del punto di intersezione non puoi usare lo stesso parametro per entrambe ( perché hanno un significato diverso ) ... per una usa pure $t $ ma per l'altra ad es. $s$...

cioè $ { ( 5-5t=3t' ),( t=1+2t' ),( -1+2t=t'+1 ):} $ ?

se così fosse, alla fine troverei $t'=0$ e $t=1$
ora con questi risultati cosa ci faccio? cioè, come faccio a ricavare da queste due soluzioni il punto di intersezione?

(intanto ho verificato che andando a sostituire questi $t'$ e $t$ nell'uguaglianza $v_0+tv_1=v_0'+t'v_1'$, questa risulta vera)

[Camillo]

Sostituendo i valori trovati per $t $ e per $t'$ nelle equazioni rispettive trovi le coordinate del punto di intersezione delle due rette:

*retta r ) $t=1 $
$x=5-5t = 0$
$y= t=1$
$z= -1+2t= 1 $

Ovviamente per la retta s ) $t'= 0$ si ottiengono gli stessi valori per le coordinate del punto
$ x=3t'=0$
$y= 1+2t'=1$
$z=t'+1=1 $
Punto P di intersezione $( 0,1,1)$

[simo954]

ok capito