Equazione Matriciale

[betti92]

Ciao a tutti !Devo risolvere questa equazione matriciale Ax+2BC= D

A= $((1,4),(2,7))$
B= $((0,1,-2),(-1,2,0))$
C= $((2,1),(3,0),(0,4))$
D= $((6,-9),(3,0))$

ho calcolato 2BC =
$((6,-16),(8,-2))$

ora come procedo ? D ,ovvero la matrice dei termine noti, non dovrebbe essere una 2x1 ?

diventa cosi ?

D= $((-3),(3))$

[ciromario]

$AX+2BC=D$
\(\displaystyle X=A^{-1}(D-2BC)=\begin{pmatrix}-20&-41\\5&12\end{pmatrix} \)

[minomic]

No, $D$ va benissimo com'è! Piuttosto la tua matrice incognita sarà
\[X=
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4
\end{bmatrix}
\] Procedi con i prodotti e poi uguagli i termini corrispondenti.

[betti92]

E scusa e come faccio a risolvere con Cramer se ho una D 2x2 ?

[minomic]

Infatti chi ha detto che devi risolvere con Cramer? Io ho detto che devi confrontare tutti gli elementi, quindi l'elemento $(1,1)$ della matrice di sinistra con l'elemento $(1,1)$ di quella di destra, e così via.

[betti92]

Non mi sono mai trovato di fronte a un caso del genere... di solito avevo sempre una matrice di termini noti 2x1 quindi dopo risolvevo con Cramer... non ti sto seguendo per qeusto motivo :/

[minomic]

Ok, non preoccuparti: vedrai che adesso ci arriviamo!
Se fai il calcolo trovi \[
AX+2BC = \begin{bmatrix}
x_1+4x_3+6 & x_2+4x_4-16 \\ 2x_1+7x_3+8 & 2x_2+7x_4-2
\end{bmatrix}
\] A questo punto confronti gli elementi di questa matrice con gli elementi della matrice $D$ ed ottieni il seguente sistema:
\[
\begin{cases}
x_1+4x_3+6 = 6 \\
x_2+4x_4-16 = -9 \\
2x_1+7x_3+8 = 3 \\
2x_2+7x_4-2 = 0
\end{cases}
\] Ora lo puoi risolvere come vuoi, anche se il metodo più semplice è notare che la prima e la terza dipendono solo da $x_1, x_3$ mentre la seconda e la quarta solo da $x_2, x_4$. Quindi si possono vedere come due sistemi separati.