Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda EveyH » 23/01/2015, 16:58

Oggi all'esame c'era questo esercizio:
Si dica se l'insieme $W=((r+s, r+t),(-r-s, 0)) | r,s,t in R$ è un sottospazio dell'insieme $Mat_2,_2(R)$ delle matrici 2x2 a coefficienti in $R$ e in caso affermativo si determini la dimensione di W.
Ho verificato che si tratta effettivamente di un sottospazio, ma non mi sono ricordata come calcolarne la dimensione.
Mi sapete aiutare?
Grazie.
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda Camillo » 23/01/2015, 17:22

Considera che $ -r-s=-(r+s) $ quindi ...
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda EveyH » 23/01/2015, 18:10

Quindi la risposta è 2?
Però mi interessa capire il ragionamento sottostante.
Grazie.
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda Camillo » 23/01/2015, 20:02

Sì è 2 perché ci sono solo due variabili indipendenti . Se chiamo $a=r+s ; b=r+t $ e sono 2 variabili indipendenti tra loro ok ? mentre $-r-s=-a $ e quindi la matrice si può riscrivere $((a,b),(-a,0))$
Ci sono solo 2 variabili indipenmdenti che sono $a,b $ e quindi la dim=2
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda EveyH » 24/01/2015, 12:51

Ok. Ma qual è la relazione fra le variabili indipendenti e la dimensione del sottospazio?
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda Camillo » 24/01/2015, 13:31

Numero variabili indipendenti = dimensione del sottospazio
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda EveyH » 26/01/2015, 00:48

Sì questo era chiaro, ma sapresti dirmi perché è così?
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda Newton95 » 26/01/2015, 14:48

Perché al variare di quei parametri hai il sottospazio. Le variabili dipendenti, appunto "dipendendo" da quei parametri, (che generalmente chiamiamo s, o t, quindi sono già assegnate.
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda EveyH » 26/01/2015, 16:09

Supponendo che uno non si accorgeva di questa cosa, o non era così semplice vederlo "a occhio", i conti da fare come erano?
Io so che la dimensione è il numero di elementi della base, e la base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio, per cui immagino ci si riconduca semre a risolvere un sistema lineare omogeneo, giusto? Ma in questo caso come andava impostato?
Grazie!
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Re: Come trovare la dimensione di un sottospazio

Messaggioda Camillo » 27/01/2015, 10:29

A proposito di basi per il sottospazio $W$ -visto che sono infinite - ne propongo due ,
* una la più "spontanea " $[((1,0),(-1,0)) ; ((0,1),(0,0))] $
* e una più "elaborata " $[((325,0),(-325,0)) ;((0,-732),(0,0))]$

Scelgo ora a caso un elemento di $W$ ad esempio $((3,5),(-3,0))$.
Se tutto quanto detto e fatto sopra è corretto devo poter trovare univocamente due coefficienti $alpha,beta $ tali che :
$alpha *((325,0),(-35,0)) +beta*(( 0,-732),(0,0)) =((3,5),(-3,0))$
In quanto ho scelto una base del sottospazio , ne ho combinato linearmente gli elementi per ottenere un vettore qualunque del sottospazio.
Per trovare $alpha, beta $ basta risolvere il sistemino :
$325 alpha= 3$
$-732beta=5$
$-325 alpha= -3 $ da cui :
$alpha= 3/325 ; beta = -5/732$
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