Sto cercando di risolvere il seguente esercizio: determinare, se esiste, un sistema lineare di equazioni di rango 1 che abbia
$(1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1,−1) $ tra le soluzioni.
Mi si chiede poi di determinare un sistema con le stesse soluzioni e di rango 2 se esiste.
Allora dai dati so che nel primo caso il sistema ha rango 1, 3 indeterminate (x,y,z) e quindi l'insieme delle soluzioni del sistema deve dipendere da due parametri, ovvero l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato deve essere un sottospazio di dimensione 2 di $R^3$.
Allora sapendo che la differenza di due soluzioni di un sistema è soluzione del sistema omogeneo associato, che le soluzioni di un sistema omogeneo sono un sottospazio e che la somma di una soluzione del sistema e di una del sistema omogeneo associato è ancora una soluzione del sistema pongo
$(1,0,1)+t((1,0,0)-(1,0,1))+s((1,1,-1)-(1,0,0))$ (è corretto?)
Per far si che l'esercizio abbia soluzione deve essere anche $(1,1,-1)=(1,0,1)+t((1,0,0)-(1,0,1))+s((1,1,-1)-(1,0,0))$
e $(1,0,0)=(1,0,1)+t((1,0,0)-(1,0,1))+s((1,1,-1)-(1,0,0))$ e da qui si ricavano, sempre se non ho fatto errori, $s$ e $t$.
A tal punto si può cercare il sistema il cui insieme delle soluzioni è $(1,0,1)+<(0,0,-1),(0,1,-1)>$ e da qui in poi non ho problemi.
Grazie per l'attenzione
