Problema autovalori ed autovettori

[marcook]

Salve, vorrei avere dei consigli riguardo un esercizio sugli autovalori ed autovettori.
Allora la matrice è questa:

$T=$$((2cx^2 , 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 2cx^2))$

Autovalori:

$det(T- \lambda I)=0$

$det$ $((2cx^2 - \lambda, 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 2cx^2 - \lambda))$ $=0$

Ciò significa che le radici $ \lambda _1 = 2cx^2$ $ \lambda _2 = 2cx^2$

Autovettori:
$det(T- \lambda I)((n_1),(n_2)) = ((0),(0))$

Per $ \lambda _1 = 2cx^2$

$det$ $((2cx^2 - 2cx^2, 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 2cx^2 - 2cx^2))((n_1),(n_2)) = ((0),(0))$

$det$ $((0, 2ch^2-2cx^2),(2ch^2-2cx^ 2, 0))((n_1),(n_2)) = ((0),(0))$

$(2ch^2-2cx^2)n_2=0$
$(2ch^2-2cx^2)n_1=0$

$n=((0),(0))$
Quindi vengono nulli. Che io mi ricordi non è possibile che vengano nulli per cui credo di sbagliare qualcosa....qualcuno sa darmi indicazioni in merito o farmi vedere dove sto sbagliando?

Grazie mille

[vict85]

Semplifico ponendo \(\displaystyle a = 2cx^2, b = 2ch^2 \). Ricavo la matrice \(\displaystyle T = \begin{pmatrix} a & b - a \\ b - a & a \end{pmatrix} \).

\(\displaystyle T - \lambda I = \begin{pmatrix} a - \lambda & b - a \\ b - a & a - \lambda \end{pmatrix} \)

pertanto

\(\displaystyle \det (T - \lambda I) = (a - \lambda)^2 - (b - a)^2 = a^2 + \lambda^2 -2a\lambda - b^2 - a^2 +2ab = \lambda^2 -2a\lambda - (b^2 - 2ab) \)

Una radice è senza dubbio \(\displaystyle \lambda = b = 2ch^2 \).

L'altra uso il metodo classico (per \(\displaystyle b \) divisibili per 2) \(\displaystyle \lambda_{1,2} = a \pm \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab} = a \pm \sqrt{(a - b)^2} = a \pm ( a - b )\) (essendoci il \(\displaystyle \pm \) posso ignorare il fatto che \(\displaystyle \sqrt{(a - b)^2} = \lvert a - b \rvert \) e togliere il valore assoluto). Si ricava che \(\displaystyle \lambda_2 = 2a-b = 4cx^2 - 2ch^2 = 2c(2x^2 - h^2) \).

Sinceramente ti suggerisco di continuare ad usare le sostituzioni per facilitarti nei calcoli. Comunque l'errore era appunto negli autovalori.

[marcook]

Dopo qualche annetto ci si dimenticano i "babrbatrucchi".... adesso tutto torna!

Grazie per il tempo che mi hai dedicato