Matrice rispetto alle basi canoniche

[mikx]

mi viene proposto questo esercizio non numerico, del quale vi chiedo gentilmente un metodo di risoluzione in quanto non riesco a digerirli questi impostati in questa maniera, e a tal proposito vi chiedo se c'è una guida facile per capirli, in quanto sto facendo molta difficoltà. grazie

Nello spazio V= M2(R) delle matrici reali 2x2 si consideri l'applicazione L:V->V definita da:
$L| ( a , b ),( c , d ) | $ = $| ( a , (b+c)/2 ),( (b+c)/2 , d ) |$

1. verifica che L è lineare e trova la matrice di rappresentazione rispetto alla base canonica di M2 (R)
2. individuare una base di nucleo e immagine di L e dire se L è iniettiva e o suriettiva
3. estendere la base dell'immagine di L trovata ad una base dello spazio V.

grazie ancora per l'aiuto.

[garnak.olegovitc]

@mikx,
non funziona così, devi proporre una tua soluzione..... inizia col verificare se \(L \) è lineare..

[mikx]

ok scusate. la mia idea. o meglio l'unica che mi è passate per la testa. è di prendere a b c d numerici e con quelli numerici verificare se è lineare. ovvero controllare se gode della proprietà di somma e prodotto per scalare.

per esempio se considero A = $| ( 1 , 1 ),( 1 , -2 ) | $ e B = $| ( 2 , 1 ),( 1 , -1 ) | $

vedo che $L(A+B) = L(A) + L(B)$

e preso uno scalare V=3

vedo che $V * L(A) = L(V*A)$

quindi è lineare.

corretto?

per trovare la matrice M rispetto alla base canonica farei così:

a= 1 , b= 0 , c=0 , d=1

mi generano quindi : M = $| ( 1 , (1+1)/2 ),( (1+1)/2 , 1 ) | $

però ora non mi capisco più, nel senso che ho semplicemente sostituito coefficienti della base canonica sull'immagine dell'applicazione. mi sembra troppo semplice.

proseguo trovando il determinante di = M = $| ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) | $
che è ZERO. quindi significa che il rango non è massimo. e solo il primo dei 2 vettori forma una base. $(1,1)$

per il teorema di nullità + rango vedo che il nucleo è di dimensione 1. $(-1,1)$

quindi non è ne iniettiva dim nucleo $!=$ 0, ne suriettiva dim imm $!=$ 2

l'ultimo punto non saprei proprio.

[mikx]

credo che sia corretto quello che ho fatto. cosa ne dite?