Vettori equivalenti modulo W

[Deneb17]

Ho questo esercizio da fare:

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K $e $W$ un sottospazio di $V$ . Si dice che due vettori $v_1$ e $v_2$ in $V$ sono equivalenti modulo $W$, ($v_1 ∼ v_2$) se $v_1 − v_2 ∈ W$.
1. Dimostrare che questo definisce una relazione di equivalenza su $V$ .
2. Se $[v] = {u ∈ V : u ∼ v}$ denota la classe di equivalenza di $v$, dimostrare che $[v] = v + W$, dove $v + W = {v + w : w ∈ W}$
3. Si denota con $V|W = {[v] : v ∈ V}$ l’insieme delle classi di equivalenza. Si definisce una somma e una moltiplicazione scalare in $V|W$ nel seguente modo:
$[v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2]$ ; $λ[v] = [λv]$.
Dimostrare che questa somma e moltiplicazione scalare in $V|W$ sono ben definite, ovvero non dipendono dalle scelte dei rappresentanti delle classi di equivalenza.

I primi due punti sono abbastanza facili, ma il terzo fatico a capire cosa voglia sapere.
Io ho pensato che, prendendo in considerazione la somma:

$[v_1]$ è l'insieme di tutti gli $u_1 in V$ tali che $u_1 - v_1 in W$
$[v_2]$ è l'insieme di tutti gli $u_2 in V$ tali che $u_2 - v_2 in W$

Allora la loro somma è l'insieme di tutti gli $u_1 + u_2$, che è un elemento di $V$, tali che $u_1 - v_1 in W$ e $u_2 - v_2 in W$. Poichè $W$ è chiuso rispetto alla somma, si ha che $u_1 - v_1 + u_2 - v_2 in W$, pertanto
$[v_1] + [v_2]$ è l'insieme di tutti gli $u_1 + u_2$ tali che $u_1 + u_2 - (v_1 + v_2) in W$, ovvero $[v_1 + v_2]$

E' corretto? E come dimostro che è "ben definita", ovvero non "dipende dalle scelte dei rappresentanti di equivalenza"?