dubbi su procedura per trovare punti stazionari di funzioni in più variabili

[redrobin505]

ciao a tutti, sto cercando i punti stazionari di f(x,y,z): il metodo che devo applicare è quello dei minori principali di guida (MPG). Quello che non capisco è come classificare i punti stazionari in base al segno dei minori principali di guida. in particolare ho:
\( \displaystyle f(x,y,z)=xy-2x^2-x-y-y^2-z^2+xz \) calcolo il differenziale e lo pongo uguale a 0 per trovare gli eventuali punti stazionari, da cui risulta un unico punto stazionario di coordinate \( \displaystyle P(\frac{2}{9}, -\frac{7}{18}, \frac{1}{9}) \) ora ne devo valutare la natura, costruisco quindi la matrice Hessiana associata alla funzione \( \displaystyle H_{f} = \begin{bmatrix}
4,0,1\\
1,-2,0\\
1,0,-2\\

\end{bmatrix} \)

dunque ho:

\( \displaystyle \Delta _{1}=4, \Delta _{2}=-8, \Delta _{3}=18 \)

Confido che i miei calcoli siano corretti, in ogni caso il procedimento fin qui è corretto? ed infine, come faccio a stabilire di che tipo di punto si tratta? grazie

[redrobin505]

uppo nella speranza che qualcuno risponda.

[dissonance]

Ma è chiaro che qualcosa non va. Non ti sei accorto che la tua matrice non è simmetrica?

[vict85]

\(\displaystyle f = xy-2x^2-x-y-y^2-z^2+xz \)

Derivate prime
\(\displaystyle f_x = y - 4x -1+z \)
\(\displaystyle f_y = x - 1 - 2y\)
\(\displaystyle f_z = -2z + x \)

Derivate seconde
\(\displaystyle f_{xx} = -4 \)
\(\displaystyle f_{yy} = -2\)
\(\displaystyle f_{zz} = -2 \)
\(\displaystyle f_{xy} = 1 \)
\(\displaystyle f_{yx} = 1 \) quindi qui è OK
\(\displaystyle f_{xz} = 1 \)
\(\displaystyle f_{zx} = 1 \) anche qui è OK
\(\displaystyle f_{yz} = 0\)
\(\displaystyle f_{zy} = 0 \) tutto OK.

A me \(\displaystyle H \) viene \(\displaystyle \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \).

[redrobin505]

grazie per le risposte, ho rivisto l'esercizio, il punto stazionario è uno solo ed è P( \( \displaystyle -\frac{1}{2},-\frac{3}{4},-\frac{1}{4} \) ) e \( \displaystyle H \)\( \displaystyle \) è quella indicata da te. Arrivati qui però come faccio a classificare il punto stazionario con i minori principali di guida?