da Steven » 31/01/2015, 15:03
Ciao, supponiamo dapprima $Tr(A) ne 0$. Possiamo passare, cambiando base (ciè ottenendo una matrice simile), ad una matrice con tutte le colonne nulle tranne l'ultima (perché?), quindi nella forma
$ ( (0,0,..., lambda_1) , (...,...,...,...) , (0,0,..., lambda_(n-1)) , (0,0,..., lambda_n)) $
La condizione che la traccia è non nulla diventa quindi $lambda_n ne 0$ (ricorda che la traccia non cambia passando a matrici simili). A questo punto puoi applicare il teorema di diagonalizzabilità, mostrando che gli autovalori hanno molteplicità geometria e algebrica uguale. Questo è verificato, perché per l'autovalore $0$ hai $n-1$ in entrambe le moltplicità, e per $lambda_n$ idem (per la geometrica, puoi esibire un autovettore in maniera diretta, $(lambda_1, ..., lambda_n)$ ad esempio). Quindi hai la diagonalizzabilità.
L'altra direnzione è più semplice, prova da sola. Rifletti sul fatto che se la matrice è diagonalizzabile, siccome il rango è solo $1$, quanti zeri devono comparire sulla diagonale dopo che diagonalizzi?