Traccia

Messaggioda kika_17 » 31/01/2015, 10:46

Ciao, qualcuno può aiutarmi con questo problema per favore?

Sia data $A$ matrice quadrata $n$ x $n$ con $n > 1$, di rango 1, a coefficienti in un campo $K$.
Provare che $A$ è diagonalizzabile se e solo se $TrA != 0$.
___

La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale, ma anche la somma degli autovalori, giusto? però non so come dimostrare ciò che chiede.

Grazie :D
kika_17
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 78 di 212
Iscritto il: 13/07/2012, 13:45

Re: Traccia

Messaggioda Steven » 31/01/2015, 15:03

Ciao, supponiamo dapprima $Tr(A) ne 0$. Possiamo passare, cambiando base (ciè ottenendo una matrice simile), ad una matrice con tutte le colonne nulle tranne l'ultima (perché?), quindi nella forma
$ ( (0,0,..., lambda_1) , (...,...,...,...) , (0,0,..., lambda_(n-1)) , (0,0,..., lambda_n)) $

La condizione che la traccia è non nulla diventa quindi $lambda_n ne 0$ (ricorda che la traccia non cambia passando a matrici simili). A questo punto puoi applicare il teorema di diagonalizzabilità, mostrando che gli autovalori hanno molteplicità geometria e algebrica uguale. Questo è verificato, perché per l'autovalore $0$ hai $n-1$ in entrambe le moltplicità, e per $lambda_n$ idem (per la geometrica, puoi esibire un autovettore in maniera diretta, $(lambda_1, ..., lambda_n)$ ad esempio). Quindi hai la diagonalizzabilità.

L'altra direnzione è più semplice, prova da sola. Rifletti sul fatto che se la matrice è diagonalizzabile, siccome il rango è solo $1$, quanti zeri devono comparire sulla diagonale dopo che diagonalizzi?
Steven
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5349 di 5708
Iscritto il: 12/11/2006, 14:47

Re: Traccia

Messaggioda kika_17 » 31/01/2015, 16:51

vediamo se ho capito :)

allora, dato che la matrice ha rango 1 ho una matrice con "n-1" zeri sulla diagonale, quindi la traccia della matrice (somma dei valori sulla diagonale) è data dall'unico elemento non nullo, quindi se la traccia fosse zero avrei una matrice con una diagonale di zeri, ovvero con tutti autovalori nulli, perciò non diagonalizzabile; dunque devo avere traccia non nulla.

è corretto?
kika_17
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 80 di 212
Iscritto il: 13/07/2012, 13:45

Re: Traccia

Messaggioda Steven » 01/02/2015, 16:47

Corretto, tranne che per una deduzione:
kika_17 ha scritto:quindi se la traccia fosse zero avrei una matrice con una diagonale di zeri, ovvero con tutti autovalori nulli, perciò non diagonalizzabile dunque devo avere traccia non nulla.

Il problema non e' che tale matrice non e' diagonalizzabile, ma che e' una matrice con tutti zeri, e quindi non ha rango $1$ bensi' zero, contro l'ipotesi.

Tra l'altro una matrice diagonale con tutti zeri e' diagonalizzabile perche' e' proprio diagonale (fuori dalla diagonale ha zeri, banalmente). Ciao!
Steven
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5350 di 5708
Iscritto il: 12/11/2006, 14:47

Re: Traccia

Messaggioda kika_17 » 02/02/2015, 09:23

Ok, ho capito ;) grazie mille!! byeee
kika_17
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 81 di 212
Iscritto il: 13/07/2012, 13:45


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite