Come da titolo, come si dimostra che una funzione $ f:mathbb(R^n)rarr mathbb(R^n) $ affinità fra due sottospazi affini è un omeomorfismo se nel dominio e nel codominio c'è la topologia naturale?
Per defininizione è biettiva, devo dimostrare solo che è continua dato che l'inversa di un'affinità è un'affinità.
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Dimostrare che un'affinità è un omeomorfismo
da Nick895 » 01/02/2015, 21:47
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Re: Dimostrare che un'affinità è un omeomorfismo
da Epimenide93 » 01/02/2015, 22:08
Un'affinità non è altro che la composizione di una traslazione ed un'applicazione lineare bîettiva (è un risultato che ti è noto?), quindi il problema si riconduce a dimostrare che queste ultime classi di mappe sono continue. In entrambi i casi si tratta di un esercizio piuttosto semplice.
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)
«(...) per consegnare alla morte una goccia di splendore,
di umanità,
di verità...»
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Re: Dimostrare che un'affinità è un omeomorfismo
da Nick895 » 02/02/2015, 02:20
Epimenide93 ha scritto:Un'affinità non è altro che la composizione di una traslazione ed un'applicazione lineare bîettiva (è un risultato che ti è noto?), quindi il problema si riconduce a dimostrare che queste ultime classi di mappe sono continue. In entrambi i casi si tratta di un esercizio piuttosto semplice.
Ciao Epimenide, grazie per la risposta.
Avevo già inutito che avrei dovuto utilizzare quella caratterizzazione delle affinità; dimostrare che una traslazione f è continua lo si fa subito con la definizione (la controimmagine di un disco di centro P e raggio r è ovviamente il disco di centro la controimmagine di P e raggio r), ma come gestisco l'isomorisfmo lineare che rimane?
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Re: Dimostrare che un'affinità è un omeomorfismo
da Epimenide93 » 03/02/2015, 19:33
Il modo più semplice credo sia quello di dimostrare che le applicazioni lineari sono lipschitziane.
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)
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