Disuguaglianza di Schwarz e radice quadrata

[andreavda]

Ciao a raga, complice un vuoto di memoria, e anche la stanchezza dovuta all'ora tarda, non riesco a capire un passaggio della lezione di geometria.

In pratica il prof ha spiegato la diseguaglianza di Schwarz, ossia
$ (v*w)^2 <= ||v||^2||w||^2 $

e l'ho capita, il problema è che poi la prende per fare un passaggio ed arrivare a questa formula:
chiaramente divide entrambi per $ ||v||^2||w||^2 $

ed esce qualcosa del genere:

$ (v*w)^2/(||v||^2||w||^2)<=1 $

e poi fa la radice quadrata del primo e del secondo membro.
Ecco, io non capisco come faccia ad uscire con il -1 a sinistra, ecco infatti la formula che esce fuori:

$ -1 <= (v*w)/(||v|| ||w||)<= 1 $

Mi vergogno anche a dirlo perché probabilmente è qualcosa di così immediato che dovrei saperlo.
Grazie a chiunque vorrà darmi una mano.

[cicalino]

Tu sai per definizione che $<v,w> <= ||v||* ||w|| $

Ma allora se $<v,w>$ lo dividi per un valore che è maggiore o uguale ad esso otterrai un valore che appartiene all'intervallo $[-1,1]$ (nessuno ci assicura che il membro al numeratore sia positivo)

[dissonance]

Ancora più semplicemente, è un fatto standard di disuguaglianze. La disuguaglianza $a^2\le 1$ è equivalente a $-1\le a \le 1$. Sono cose che hai sicuramente studiato e usato nel risolvere le disequazioni.