Dubbio su: determinante e rango

[MinatoNamikaze]

Rileggendo il testo di teoria di mi sono imbattuto in un dubbio:

per il Th di Kronecker $ rho (A)=dimL(R)=dimL(C) $, e come conseguenza si cita il corollario

A nxn, allora i seguenti fatti sono equivalenti:
$ 1) | A | != 0 $
$ 2) A in GL(R) $
$ 3) rho (A)0n $
[...]

però non capisco quale sia la relazione che fa sì che il rango sia massimo se il determinate è diverso da zero

[kobeilprofeta]

Se il rango è massimo, allora $A$ è invertibile. Dunque esiste $A^{-1}$ tale che (per un altro teorema) $det (A^{-1})= 1/(det A)$, dunque $det A!=0$.

Se invece hai $det A!=0$... per assurdo, sia il rango non massimo. Allora una delle righe puó essere scritta come combinazione lineare delle altre, sia (a meno di riordinamenti) $A^(1)=c_2*A^(2)+c_3*A^(3)+...+c_n*A^(n)$. Allora $det (A)= det ((c_2*A^(2)),(A^(2)),(...),(A^(n)))+det ((c_3*A^(3)),(A^(2)),(...),(A^(n)))+...$
in poche parole ognuno di quei determinanti è nullo perchè ci saranno sempre due righe uguali.... Assurdo

[MinatoNamikaze]

Perfetto , grazie mille!