Operazioni tra vettori

[ezio1400]

Salve vorrei porre una breve domanda che per alcuni potrà essere banale.
Indicando con $ul(u)$ un versore e $\underline{v}$ un vettore, mi è stato detto che la proiezione di $\underline{v}$ su una retta diretta da $\underline{u}$ è $(\underline{u}*\underline{v})*\underline{u}$ ma non mi è molto chiaro il perchè...

Grazie in anticipo per le eventuali risposte.

[xshadow]

Ciao...provo a risponderti


dunque, sia $ hat(u) $ un versore e sia $ bar(v) $ un vettore generico.

L' espressione $ (bar(v)*hat(u) )hat(u) $ indica evidentemente la proiezione del vettore $ bar (v) $ sulla retta parallela al versore $ hat(u) $ .


Prima di tutto ti faccio notare come la scrittura $ ( bar(v) *hat(u) )*hat(u) $ non sia formalmente corretta in quanto il simbolo " $ * $ " nel nostro contesto si riferisce all'ordinario prodotto scalare tra due vettori di uno spazio vettoriale.

Ora come ben saprai il risultato di tale operazione binaria è uno scalare $ a $ : nel nostro caso se applicassimo il prodotto scalare tra i vettori tra parentesi otterremmo quindi uno scalare e ,l'espressione risultante sarebbe $ a*hat(u) $ ,ma tale operazione non è definita.

E invece definita l'operazione $ ahat(u) $ ,che altro non è che il prodotto di un vettore per uno scalare!
Sicchè sarebbe corretto scrivere la tua espressione in una piu corretta del tipo $ (bar(v) *hat(u) )hat(u) $


So che la differenza tra le due espressioni è apparentemente un inezia ma ,in realtà, quel punticino di troppo rende tale espressione formalmente sbagliata.

Ora passiamo al tuo vero dubbio: dimostriamo intuitivamente che " la PROIEZIONE di $ bar(v) $ su una retta diretta da $ hat(u) $ è equivalente all'espressione $ (bar(v) *hat(u) )hat(u) $

Anzitutto soffermiamoci sull'espressione tra parentesi,che come già detto,si tratta del prodotto scalare tra due vettori.

Ragioniamo per semplicità sul piano,dove il significato geometrico di una qualche operazione/applicazione è piu facilmente intuibile: abbiamo a che fare perciò con due vettori del piano.


Ora sai che il prodotto scalare di due vettori generici $ bar(a) *bar(b) =|a| |b| cosalpha $
con $ alpha $ coincidente all'angolo individuato dai due vettori e $ |a| $ e $ |b| $ le lunghezze dei due vettori.

ora considera il triangolo rettangolo i cui cateti sono individuati dalla proiezione di $ bar(a) $ sul vettore $ bar(b) $ e dal segmento ortogonale a $ bar( b) $ che congiunge i due vettori e avente come ipotenusa il segmento la cui lunghezza coincide con il modulo del vettore $ bar(a) $

Ora tenendo ben a mente questo disegno(che puoi trovare in modo chiaro su wikipedia nella pagina "prodotto scalare") torniamo alla nostra definizione di prodotto scalare e concentriamoci sull'espressione $ |a| |b| cosalpha $ ,in particolare sul prodotto $ |a| cosalpha $ : per la proprietà dei triangoli rettangoli il risultato di tale prodotto coincide con la lunghezza del segmento proiezione di $ bar(a) $ su $ bar(b) $

Perciò l'espressione intera $ |a| |b| cosalpha $ può essere vita come il prodotto tra la lunghezza della proiezione di $ bar(a) $ su $ bar(b) $ con la lunghezza del vettore $ |b| $


Ora poniamo $ bar(a) =bar(v) $ e $ bar(b) =hat(u) $ .
Il prodotto scalare è: $ bar(v)* hat(u)=|bar(v)| |hat(u)| cosalpha $

ma dato che $ |hat(u)|=1 $ (è un versore) ,allora il prodotto scalare in questione altro non è che $ |bar(v)| cosalpha $
che come già visto in precedenza ha come significato geometrico quello di lunghezza del segmento ottenuto proiettando $ bar(v) $ su $ hat(u) $

perciò il termine tra parentesi $ bar(v)* hat(u)$ dell'espressione $ (bar(v) *hat(u) )hat(u) $ fornisce un NUMERO(scalare) che coincide con la lunghezza del segmento che si ottiene facendo la proiezione di $bar(v)$ su $ hat(u) $ .

Il versore $ hat(u) $ che compare al di fuori della parentesi è necessario per indicare la direzione e verso nello spazio del segmento di lunghezza $ bar(v)* hat(u)$.

Spero nella fretta di non aver infilato errori rilevanti.

[ezio1400]

Ok , la tua risposta è stata chiara. Grazie mille.