[ESERCIZIO] Endomorfismo e riferimenti

[Root]

Ciao ragazzi!
Studiando gli endomorfismi e in particolare la matrice associata ad un determinato endomorfismo rispetto ad un riferimento mi sono imbattuto nel seguente esercizio, dal quale non riesco a venirne a capo. La traccia chiede:

Sia $ f $ l'unico endomorfismo definito nello spazio vettoriale $ f:R^3 -> R^3 $. In particolare sia:

$ f(0,1,1)->(1,-2,-1) $
$ f(1,1,0)->(1,-2,1) $
$ f(0,0,1)->(1,0,0) $

Determinare:

$ f(1,1,1)-> ? $
$ f(0,2,1)-> ? $

Inoltre stabilire quali sono gli autovalori associati all'endomorfismo.

Sul secondo punto non ho problemi a procedere, in quanto prevede di calcolare il determinante della matrice associata all'endomorfismo rispetto al riferimento canonico. Determinante che è dato da: $ |A-kIn| $.
Per il primo punto ho trovato che l'equazione cartesiana dell'endomorfismo risulta essere $ f(x,y,z)in R^3:(x+z,-2y,2x-y) $ provando solo ed esclusivamente a tentativi, nel senso che guardando l'immagine tramite $ f $ ho provato a mettere segno positivo e negativo e/o coefficiente più o meno all'equazione cartesiana.
Se l'equazione che ho riportato risulta corretta (non ho soluzioni per controllare) il primo punto risulta:

$ f(1,2,-2)-> (1,-4,0) $
$ f(-1,1,0)-> (-1,0,-2) $

Credo non sia questo il metodo più opportuno per procedere.

Qualcuno sa darmi una diritta?
Thnx

[Steven]

Per questi esercizi pure a tentativi ve bene, diciamo che altrimenti si tratta di esprimere i vettori $(1,1,1),(0,2,1)$ come combinazione della base su cui stai definendo la funzione.

In questo caso, piu' o meno ad occhio, vedi che $(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)$ e che $(0,2,1)=2(0,1,1)-(0,0,1)$. Per linearita' hai subito il risultato applicando $f$.

[dissonance]

Cura il linguaggio, a volte usi termini proprio a sproposito.

Sia $ f $ l'unico endomorfismo definito nello spazio vettoriale $ f:R^3 -> R^3 $.

??? Che significa questa frase? Io capisco che hai uno spazio vettoriale $f: RR^3\to RR^3$ (ma quella non è la notazione per indicare una funzione?) e che questo spazio vettoriale ammette solo un endomorfismo (???), da denotarsi con $f$.

Io ti consiglio di farci più attenzione. Se uno si esprime bene, capisce anche meglio le cose.