Topologia epsilon-intorni

[Isaac888]

Salve a tutti.
Sto cercando di capire la soluzione di questo esercizio, in particolare i punti 2) e 3):

Sia $(X,d)$ uno spazio metrrico. Dati $x\in X$ ed $A\subseteq X$ definiamo l'$\epsilon$-intorno di $A$ come segue:

$U_{\epsilon}(A):={x\in X|A\subseteq X, d(x,A)<\epsilon,\epsilon>0}$

1)Mostrare che ogni elemento $D\in \mathcal{D}$ è aperto in $X$, e che $\mathcal{D}$ è la base di una topologia su $X$;
2)Sia $X=\mathbb{R}$ con la distanza euclidea. Costruire un aperto di $\mathbb{R}$ che non sia un aperto di $\mathcal{D}$.
3)L'insieme $mathcal{D}$ è chiuso rispetto all'intersezione finita?

sol:

2 e 3) Sia $X=(\mathbb{R},\tau_{eucl})$: costruiremo due $\epsilon$-intorni la cui intersezione non sia in $\mathcal{D}$, in modo da risolvere entrambi i punti. Sosteniamo quindi che $\mathcal{D}$ non sia chiuso rispetto all'intersezione finita.
Siano:

$D_1:=U_{frac{1}{2}}((\frac{1}{2}+2n)_{n\in \mathbb{N}})=$ $ ]0,1[\cup]2,3[\cup]4,5[\cup...$

$D_2:=U_{frac{1}{2}}((\frac{3}{2}-\frac{1}{n} +2(n-1))_{n\in \mathbb{N}})=$ $ ]0,1[\cup]\frac{5}{2},\frac{7}{2}[\cup]\frac{14}{3},\frac{17}{3}[\cup...$

Si ha dunque che l'intersezione $Y:=D_1\cap D_2$ è data dall'insieme:

$Y=]0,1[\cup]\frac{5}{2},3[\cup]\frac{14}{3},5[\cup...$

e l'ampiezza di questi intervalli decresce come $\frac{1}{n}$.
Essendo $\mathbb{R}$ archimedeo, si ha che $Y\notin \mathcal{D}$, da cui $\mathcal{D}$ non è chiuso per l'intersezione finita, ma $Y$ è un aperto di $(\mathbb{R},\tau_{eucl})$, non appartenente a $\mathcal{D}$.

Domande:

1)Cosa mi doveva far capire che gli insiemi $D_1$ e $D_2$ andavano costruiti così? Ci sarei mai potuto arrivare senza prima dimostrare il punto 3) e poi il punto 2)? Cioè elencando tutti i possibili tipi di aperti euclidei di $\mathbb{R}$ e facendo vedere che ce n'era uno che non poteva esserlo in $\mathcal{D}$?

2)Non capisco perchè gli aperti $D_1$ e $D_2$ siano dei "tipici" aperti di $\mathcal{D}$.

3)Se $\mathcal{D}$ è la base di una topologia, come fanno due aperti là dentro a non avere intersezione in $\mathcal{D}$?

4)$Y$ è intersezione infinita di aperti euclidei. In questo caso è aperta perchè la successione decresce fino all'insieme vuoto vero?

5)per quanto riguarda il punto 1) nella soluzione che ho io non viene dimostrato che $X=\cup_{A\subseteq X, \epsilon>0}{U_{\epsilon}(A)}$. Io l'ho fatto dicendo che: $U_{\epsilon}(A)$ è unione di palle aperte della topologia euclidea e, poichè le palle aperte sono una base della topologia euclidea è rispettano la proprietà del ricoprimento, allora lo fa anche $\cup_{A\subseteq X, \epsilon>0}{U_{\epsilon}(A)}$. Va bene così?

Grazie per l'attenzione

[j18eos]

Due note: l'\(\displaystyle\epsilon>0\) lo fissi prima di definire \(\displaystyle U_{\epsilon}(A)\), e quest'ultimo si definisce semplicemente come:
\[
U_{\epsilon}(A)=\{x\in X\mid d(\{x\},A)<\epsilon\}
\]
dato che per ipotesi \(\displaystyle A\subseteq X\).

Domanda: chi o cosa è \(\displaystyle\mathscr{D}\)?

[Isaac888]

$mathcal{D}$ è la base degli intorni $U_{\epsilon}(A)$

[j18eos]

Mi sorge un secondo dubbio: il sottoinsieme \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle X\) è fissato agli inizi oppure no?

Te lo chiedo perché alla tua domanda (5) basta scegliere \(\displaystyle X=A\), ed ottieni che \(\displaystyle\forall\epsilon>0,\,U_{\epsilon}(X)=X\)!

[Isaac888]

Mi sorge un secondo dubbio: il sottoinsieme \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle X\) è fissato agli inizi oppure no?

Te lo chiedo perché alla tua domanda (5) basta scegliere \(\displaystyle X=A\), ed ottieni che \(\displaystyle\forall\epsilon>0,\,U_{\epsilon}(X)=X\)!

Bella domanda. Per come l'ho capito io (dalla traccia sopra) no! Cioè, $\forall A\subseteq X$ e $\forall \epsilon>0$ si può definire $U_{\epsilon}(A)$. Cioè le "variabili" sono due: $A$ ed $\epsilon$.

Però la semplicità della risposta: $X=A$, sommata al fatto che il prof abbia omesso la verifica, mi fa venire un dubbio terribile.

[j18eos]

Ma almeno ti trovi che \(\displaystyle\forall\epsilon>0,\,U_{\epsilon}(X)=X\)?

[Isaac888]

Ma almeno ti trovi che \(\displaystyle\forall\epsilon>0,\,U_{\epsilon}(X)=X\)?

Certo! Infatti, se fosse questo il senso della traccia, sarebbe giustificata la banalità (e quindi l'omissione) di una tale verifica. Questo però non so come potrebbe rispondere alle altre 4 domande. Soprattutto la domanda 3). Infatti due aperti della base sono anche due aperti della topologia...

[Frink]

Domande:

1)Cosa mi doveva far capire che gli insiemi $D_1$ e $D_2$ andavano costruiti così? Ci sarei mai potuto arrivare senza prima dimostrare il punto 3) e poi il punto 2)? Cioè elencando tutti i possibili tipi di aperti euclidei di $\mathbb{R}$ e facendo vedere che ce n'era uno che non poteva esserlo in $\mathcal{D}$?

A occhio direi che a livello base tutti gli aperti euclidei sono anche aperti per questa topologia. Il controesempio che fornisce nella dimostrazione è un caso piuttosto limite, non penso ve ne siano di molto più semplici.

3)Se $\mathcal{D}$ è la base di una topologia, come fanno due aperti là dentro a non avere intersezione in $\mathcal{D}$?

Semplicemente: intersezione finita di elementi di una topologia appartiene alla topologia, ma questo non è detto per la base. Ad esempio, presi due $A$ e $B$ della base, $A \cap B$ è di certo aperto della topologia ma non per forza è un elemento della base, potrebbe essere unione di elementi della base.

4)$Y$ è intersezione infinita di aperti euclidei. In questo caso è aperta perchè la successione decresce fino all'insieme vuoto vero?

$Y$ è unione infinita di aperti, se non vedo male, e questa sta sempre nella topologia.

5)per quanto riguarda il punto 1) nella soluzione che ho io non viene dimostrato che $X=\cup_{A\subseteq X, \epsilon>0}{U_{\epsilon}(A)}$. Io l'ho fatto dicendo che: $U_{\epsilon}(A)$ è unione di palle aperte della topologia euclidea e, poichè le palle aperte sono una base della topologia euclidea è rispettano la proprietà del ricoprimento, allora lo fa anche $\cup_{A\subseteq X, \epsilon>0}{U_{\epsilon}(A)}$. Va bene così?

Grazie per l'attenzione

In realtà non è necessario dimostrare che tutto l'insieme è unione di elementi della base, basta dimostrare che lo è un qualunque aperto (cosa che suppongo facesse la dimostrazione sul libro). Quello contiene anche quest'ultimo. Poi, come ha scritto j18eos, se prendi $A=X$ hai finito.