La composizione di morfismi di varietà è un morfismo di varietà

[SubManifold]

Buongiorno a tutti.

Il mio problema riguarda una frase nel libro Geometria 2 del Sernesi, e cioè: "È facile verificare che la composizione di morfismi è ancora un morfismo."

La definizione di morfismo data dall'autore è la seguente:
Siano $X$ e $Y$ varietà differenziabili, dim($X$) = $n$, dim($Y$) = $m$. Un'applicazione CONTINUA $F : X rarr Y$ si dice differenziabile, oppure un morfismo, se per ogni carta locale $(U,\varphi_U)$ in $X$ e per ogni carta locale $(V,\psi_V)$ in $Y$, la composizione
$\psi_Y F \varphi_U^{-1}$ : $\varphi_U(U nn F^{-1}(V)) rarr RR^m$
è differenziabile come applicazione dell'aperto $\varphi_U(U nn F^{-1}(V))$ in $RR^m$.

Quello che sto cercando di fare è che, definiti: $F : X rarr Y$ e $G : Y rarr Z$ morfismi, per ogni carta locale $(U,\varphi_U)$ e $(K,\omega_K)$ rispettivamente in $X$ e $Z$, si ha che:
comp) $\omega_K (G F) \varphi_U^{-1} : \varphi_U(U nn F^{-1}(G^{-1}(K))) rarr RR^p$
è differenziabile nell'aperto $\varphi_U(U nn F^{-1}(G^{-1}(K)))$.

La buona positura è banalmente verificata.
La mia idea è stata quella di considerare per ogni carta locale $(V,\psi_V)$ in $Y$, le applicazioni differenziabili:
a) $\psi_Y F \varphi_U^{-1} : \varphi_U(U nn F^{-1}(V)) rarr RR^m$
b) $\omega_K G \psi_V^{-1} : \psi_V(V nn G^{-1}(K)) rarr RR^p$
Se BEN FORMULATA la loro composizione è differenziabile per i teoremi di differenziazione in $RR^n$ ed EGUAGLIEREBBE $\omega_K (G F) \varphi_U^{-1}$ se ristretta a $\varphi_U(U nn F^{-1}(G^{-1}(K)))$.

Condizione necessarie però, per questa composizione, sono:
1) L'immagine di a) deve stare nel dominio di b): $\psi_V(F(U nn F^{-1}(V))) sube \psi_V(V nn G^{-1}(K))$
2) Il dominio di comp) deve stare in quello di a) composto b): $\varphi_U(U nn F^{-1}(G^{-1}(K))) sube \varphi_U(U nn F^{-1}(V))$

Il problema è che non vedo come debba esistere per forza UNA CARTA LOCALE $(V^',\psi_V^')$ in $Y$ che soddisfi queste condizioni.
All'inizio ho cercato di considerare la sottovarietà aperta $G^{-1}(K)$ in $Y$ (considerando $G^{-1}(K) = uu_{i in I} (V nn G^{-1}(K))$ in questo modo avrei ottenuto 1) e 2) soddisfatte), ma non riesco ad incollare con continuità le sue carte locali (e non penso che in generale si possa fare).

Qualcuno ha qualche idea da propormi, per favore?

Può essere che in generale per morfismi non valga, ma valga per diffeomorfismi (morfismo biunivoco con inversa morfismo)?.


Grazie in anticipo per la pazienza e l'aiuto, spero davvero che possiate aiutarmi non avendo altri interlocutori.

[_fabricius_]

Suggerimento: differenziabile per definizione vuol dire differenziabile in ogni punto del dominio.
Fissa un punto del dominio di $\omega_K (G F) \varphi_U^{-1}$, riesci a dimostrare che è differenziabile in (un intorno) di quel punto?

Comunque dal momento che la definizione del Sernesi è manchevole ti consiglio di dare un'occhiata al secondo capitolo del libro Geometria Differenziale di Abate e Tovena, trovi anche un'anteprima in rete.