un aiuto sulla diagonalizzabilità di una trasformazione lineare

[Ivan55]

ciao

stavo ripassando la cinematica dei deformabili quando mi sono imbattuto nel tensore detto "delle piccole deformazioni"..

spiego: detti $\epsilon_I, \epsilon_(II), \epsilon_(III)$ i suoi autovalori, i suoi autovettori individuano invece le direzioni principali di deformazione.

vorrei, partendo da questo sotto-caso, "ritornare" a quanto insegnato dall'algebra (perdonate se chiedo banalità oppure i fondamentali di questi argomenti, ma l'esame l'ho fatto 2 anni fa, programma abbastanza risicato da 5 CFU...)

anzitutto: "diagonalizzare" una matrice una matrice significa trovarne gli autovalori risolvendo l'eq.carattestica, porli sulla diagonale di una matrice e poter cosi sfruttare l'uguaglianza delle matrici diagonalizzabili usufruendo di una matrice di trasporto P?

i suoi autovettori individuano invece le direzioni principali di deformazione.

il mio dubbio è: gli autovettori di una matrice indicano allora le direzioni della trasformazione indotta dalla diagonalizzazione?

grazie

[Ivan55]

nessuno?

[Pappappero]

La diagonalizzabilita' e' un argomento centrale in algebra lineare. Ma prima di parlare di diagonalizzabilita' parliamo di autovettori; credo che sia piu' intuitivo partire con la definizione di autovettore, e attraverso quella definire gli autovalori e solo piu' tardi osservare che gli autovalori sono proprio le radici del polinomio caratteristico.

Evitero' di parlare di matrici. Parlero' di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$ (diciamo sul campo reale, quindi, una volta fissata una base, $V$ diventa proprio $\mathbb{R}^n$) e di trasformazioni lineari (che, una volta fissata una base, e' proprio una matrice).

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sia $L:V \to V$ una trasformazione lineare. Un autovettore di $L$ e' un vettore non nullo $v \in V$ tale che $Lv = \lambda v$ per un scalare reale $\lambda$. Quindi gli autovettori sono quei vettori che vengono solo "riscalati" da $L$; $L$ non cambia la direzione di $v$, ma solo il suo modulo, e lo riscala di un fattore $\lambda$. Il valore $\lambda$ si chiama autovalore di $L$ associato all'autovettore $v$.