Sottospazi di dimensione finita

[EdmondDantès]

Ciao,
mi piacerebbe capire meglio cosa c'è dietro la seguente proposizione:
"Sia \(\displaystyle (X,\| \cdot \|_H) \) uno spazio di Hilbert. Ogni sottospazio \(\displaystyle V \) di dimensione finita \(\displaystyle N \) è chiuso, essendo isometrico a \(\displaystyle \mathbb{R}^N \) (o \(\displaystyle \mathbb{C}^N \) )".
Anche su altri libri, non sono mai riuscito a trovare una spiegazione più esauriente. Per questo provo a scrivere quello che penso di aver capito (di cui vi chiedo conferma!):

Considero \(\displaystyle (V, \| \cdot \|_H) \) : esso è ancora uno spazio vettoriale normato, ed è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), ovvero esiste una applicazione lineare biunivoca tra \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle \mathbb{R}^N \), che è continua in entrambe le direzioni, ed è possibile associare a una base di \(\displaystyle V \) la base canonica di \(\displaystyle \mathbb{R}^N \) che indico con \(\displaystyle \{e_n\} \).
Il passo fondamentale credo sia questo: siccome \(\displaystyle (\mathbb{R}^N, \| \cdot \|) \) è uno spazio completo, allora, per mezzo dell'imosorfismo, anche \(\displaystyle (V, \| \cdot \|_H) \) è uno spazio completo.
Di conseguenza, essendo \(\displaystyle V \) un sottospazio completo di uno spazio completo \(\displaystyle H \), \(\displaystyle V \) è chiuso.

Può andar bene? Oppure c'è una spiegazione più immediata?
Grazie

[Pappappero]

Tutto giusto.

Bisogna forse dire due parole sulla continuita'. In effetti il tuo isomorfismo puo' sempre essere scelto in modo da rispettare il prodotto interno. Nel senso che, se hai $f : V \to \mathbb{R}^N$, allora $\langle v,w \rangle_H = \langle f(v),f(w) \rangle_{\mathbb{R}^N}$.

Ma questo si puo' sempre fare, perche' puoi ortonormalizzare una base qualsiasi di $V$ e mandare la base ortonormalizzata nella base canonica di $\mathbb{R}^N$. Quindi in particolare l'isomorfismo e' una isometria biiettiva che e' continua e ha inversa continua.

La parte sulla chiusura e sulla completezza funziona esattamente come hai spiegato tu.

[EdmondDantès]

Grazie!
Così mi è più chiaro anche il fatto dell'isometria!
Ciao