base da equazione cartesiana.

[Portanza]

Ciao ragazzi potete indicarmi un link alla procedura per estrarre una base partendo da un equazione?

Ho difficoltà a capire come far sparire, ad esempio, x y z and t da un equazione del tipo $ 2x+4y-z+3t=0 $
Con S in R4.

[Camillo]

Tu cerchi una base del sottospazio vettoriale $S$ di $RR^4 $ definito dalla relazione $ 2x+4y-z+3t= 0$
Poiché le variabili sono 4 , ma legate da una relazione, allora la dimensione del sottospazio sarà : 4-1=3.
Riscrivo così la relazione $ z= 2x+4y+3t $
Pongo per semplicità di calcolo $ x=1,y= 0 ; t=0 $ ed ottengo $z= 2 $
Pongo , sempre per semplicità $x=0,y=1,t=0 $ ed ottengo $z= 4 $
Infine sia $x=0,y=0, t=1 $ e ottengo $z= 3 $
Una base sarà allora : $( 1,0,2,0),(0,1,4,0),( 0,0,3,1)$

[Portanza]

La scelta é quindi casuale perché infinite sono le basi ottenibili per ogni sottospazio espresso quella equazione?
Perché la dimensione di ottiene come da te descritto?
(Grazie)

[Camillo]

La scelta è casuale , io ho scelto valori semplici che semplifichino i calcoli. Cert puoi anche prendere ad es. $x=1,y=-2,t=4 $ ed ottenere quindi $z= 6$ etc etc per cui il primo vettore della base sarà $(1,-2,6,4)$

[Portanza]

Per la dimensione, perché si fa quella differenza? (Perdonate la mia ignoranza).

[Portanza]

Se ho 4 variabili e 4 equazioni ho un solo vettore definito e nessuna possibilità di spaziare giusto? Se ho 4 var e 3 equazioni ho una incognita libera di spaziare giusto? É questo il motivo?