Dubbio esercizio intersezione sottospazi

[stichtom]

Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio riguardo i sottospazi e ho dei dubbi se lo svolgimento che ho seguito è corretto.
Ho un sottospazio di R^4 di nome S generato da <(2,1,3,1),(1,0,1,1),(0,1,1,-1)> e T = {(x,y,z,t) appartenente a R^4 | x+y-z=0}

Devo stabilire se S = T. Ovviamente la risposta è no perchè dim S è 2 mentre quella di T è 3. Poi mi viene chiesto di trovare l'intersezione. Allora scrivo il generico vettore di S : (a,b,a+b,a-b) e impongo che soddisfi l'equazioni di T. Così facendo ottengo 0 = 0. Quindi teoricamente dato che va bene per ogni elemento, questo significa che S è incluso in T, vero?

Poi mi viene chiesto di trovare il più piccolo sottospazio di R^4 contenente sia S che T. Allora qui se come penso io S è incluso in T, allora ovviamente la risposta è T stesso, altrimenti mi trovo una base della somma, giusto?

grazie mille