Vettori, coordinate e dipendenza lineare

Messaggioda GiammarcoP » 21/04/2015, 16:03

Ogni tanto negli esercizi che svolgo di algebra lineare sembra valere la seguente proposizione:

"Siano v e w due vettori di uno spazio vettoriale V. Se il vettore contenente le coordinate di v rispetto una determinata base B di V è linearmente indipendente rispetto al vettore contente le coordinate di w rispetto la medesima base B, allora v e w sono linearmente indipendenti".

Un esempio applicativo potrebbe essere quando ho bisogno di determinare la dipendenza (o indipendenza) lineare di due vettori di cui ho le coordinate, espresse ad esempio nelle colonne di una matrice. Puntualmente mi viene detto che, essendo, ad esempio, i vettori costituiti dalle due colonne linearmente indipendenti, lo sono anche i vettori di cui essi definiscono le coordinate. Spero di essermi spiegato.

E' esatta la proposizione? Se così fosse, non riesco a cogliere una dimostrazione rapida. Qualcuno può aiutarmi?
GiammarcoP
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Re: Vettori, coordinate e dipendenza lineare

Messaggioda Isaac888 » 22/04/2015, 18:01

L'assegnamento di una base $\mathcal{B}$, dato uno spazio vettoriale $V$, è un isomorfismo lineare tra $\mathbb{R}^n$ come spazio vettoriale, e $V$:

$\Phi_\mathcal{B}: V\rightarrow \mathbb{R}^n$

che associa al generico vettore $v \in V$ il vettore (colonna) $(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n$ (in modo unico).

Fissata una base, qualunque cosa succede nel mondo delle coordinate, succede isomorficamente nel mondo dei (veri) vettori in $V$.
Cioè, il passaggio alle coordinate, non è una semplice bigezione, ma trasporta sull'insieme d'arrivo esattamente la stessa struttura di spazio vettoriale, con tutto ciò che ne consegue.
Le coordinate sono solo un altro nome che dai allo stesso vettore. Un nome in una lingua diversa. Però questo non influisce sulle relazioni di dipendenza.

Rispondo sì alla tua domanda.
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Re: Vettori, coordinate e dipendenza lineare

Messaggioda GiammarcoP » 25/04/2015, 11:47

Grazie mille, risposta esaustiva e chiara :)
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Re: Vettori, coordinate e dipendenza lineare

Messaggioda garnak.olegovitc » 26/04/2015, 00:43

GiammarcoP ha scritto:Ogni tanto negli esercizi che svolgo di algebra lineare sembra valere la seguente proposizione:

"Siano v e w due vettori di uno spazio vettoriale V. Se il vettore contenente le coordinate di v rispetto una determinata base B di V è linearmente indipendente rispetto al vettore contente le coordinate di w rispetto la medesima base B, allora v e w sono linearmente indipendenti".

E' esatta la proposizione? Se così fosse, non riesco a cogliere una dimostrazione rapida. Qualcuno può aiutarmi?

esatta o meno, non ho mai incontrato la definizione "un vettore è linearmente (in)dipendente rispetto ad un altro", ho incontrato la definizione di "due vettori sono linearmente (in)dipendenti su un campo"... aldilà di questo, ho capito cosa intendi, tu vuoi dimostrare:

Prop.: sia \(V\) un \(\mathbb{K}\) spazio vettoriale con una sua base \(\mathcal{B}:=(b_1,b_2,...,b_n)\), e \(v,w \in V\), allora $$([v]_\mathcal{B},[w]_\mathcal{B}) \text{ è libero su } \mathbb{K} \to (v,w) \text{ è libero su } \mathbb{K}$$ la dimostrazione è di una semplicità assurda, basta applicare la definizione di lineare indipendenza su un campo e le ipotesi a disposizione...(io preferisco sporcarmi, quando capita, le mani piuttosto che spendere belle parole)

Proof: l'ipotesi principale è che $$([v]_\mathcal{B},[w]_\mathcal{B}) \text{ è libero su } \mathbb{K} $$ ricordando che \(\mathbb{K}^n\) è spazio vettoriale su \(\mathbb{K}\), quell'ipotesu significa semplicemente $$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}(\alpha\cdot [v]_\mathcal{B}+\beta \cdot [w]_\mathcal{B}=0_{\mathbb{K}^n} \rightarrow \alpha=\beta=0_\mathbb{K}) $$ dovendo dimostrare se è vera la tesi $$\forall {\alpha}',{\beta}' \in \mathbb{K}( {\alpha}'\cdot v+{\beta}' \cdot w=0_V \rightarrow {\alpha}'={\beta}' =0_\mathbb{K}) $$ considera \({\alpha}'\cdot v+{\beta}' \cdot w=0_V\), dalle ipotesi \(v\) e \(w \) ammettono decomposizione unica rispetto alla base \(\mathcal{B}\) ovvero:$$v=\sum_{i=1}^n v_i\cdot b_i \; \;\text{ con }(v_i)_{i=1}^n=[v]_\mathcal{B} \; \; \; \;\text{ e } \; \; \;\; w=\sum_{i=1}^n w_i\cdot b_i \; \;\text{ con } (w_i)_{i=1}^n=[w]_\mathcal{B}$$ detto ciò riconsidera la predente combinazione lineare: $${\alpha}'\cdot v+{\beta}' \cdot w={\alpha}'\cdot \sum_{i=1}^n v_i\cdot b_i+{\beta}' \cdot \sum_{i=1}^n w_i\cdot b_i=...=\sum_{i=1}^n({\alpha}'\cdot v_i + {\beta}'\cdot w_i)\cdot b_i=0_V$$ ma \(\mathcal{B}\) è base per \(V\) ergo è anche lin. indip. su \(\mathbb{K}\): $$\sum_{i=1}^n({\alpha}'\cdot v_i + {\beta}'\cdot w_i)\cdot b_i=0_V \to {\alpha}'\cdot v_i + {\beta}'\cdot w_i=0_\mathbb{K}, \;\forall i \in \{1,2,..,n\} $$ si deduce anche che $$ {\alpha}'\cdot v_i + {\beta}'\cdot w_i=0_\mathbb{K}, \;\forall i \in \{1,2,..,n\} \rightarrow {\alpha}'\cdot [v]_\mathcal{B}+{\beta}' \cdot [w]_\mathcal{B}=0_{\mathbb{K}^n}$$ e ricordando l'ipotesi principale (cioè che ogni combinazione lineare dei due vettori \( [v]_\mathcal{B}\) e \( [w]_\mathcal{B}\)...bla bla) si deduce finalmente che \( {\alpha}'={\beta}'=0_\mathbb{K}\), cioè la tesi..
\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
\( [ (R|R^{-1}) \; \cap \; Di\;] \cup [(R^{-1}|R) \; \cap \; Di\;] \cup [\;\sim R \;\dagger \emptyset\;] \cup [\;\emptyset \; \dagger \sim R \;] = \emptyset \)
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