Caratteristica matrice con parametri

[ezio1400]

Salve spero che mi possiate sciogliere il seguente dubbio venutomi con questa matrice:

$ ( ( k , -5 , k-1 ),( 1 , k, 3 ),( 0 , 2 , 1 ) ) $


1° Caso: (Faccio uso del teorema di Kronecker)
-Calcolo il determinante della marice $ | 1 | $ ( quello nella terza riga e terza colonna ) ovviamente $ det!= 0 $ .
-Calcolo il determinante del suo orlante $ |( k , 3 ),( 2 , 1 ) | $ e ottengo che $ det!= 0 $ se $ k!= 6 $ .
-Calcolo il determinate del suo orlante ( quindi dell'intera matrice ) e ottengo che $ det!= 0 $ se $ k!= 3 ^^ k!=1 $ .
Conclusione 1: Se $ k!= 6 ^^ k!= 3 ^^ k!=1 $ la caratteristica sarà pari a 3.

2° Caso: (Uso sempre il teorema di Kronecker)
-Calcolo il determinante della marice $ | 1 | $ ( quello nella seconda riga e prima colonna ) ovviamente $ det!= 0 $ .
-Calcolo il determinante del suo orlante $ |( k , -5 ),( 1 , k ) | $ e ottengo che $ det!= 0 $ $ \forallk\in \mathbb{R} $.
-Calcolo il determinate del suo orlante ( quindi dell'intera matrice ) e ottengo che $ det!= 0 $ se $ k!= 3 ^^ k!=1 $ .
Conclusione 2: Se $ k!= 3 ^^ k!=1 $ la caratteristica sarà pari a 3.

Quello che non mi torna è che ottengo almeno 2 conclusioni diverse sulla stessa matrice. Probabilmente sto sbagliando qualcosa ma cosa?

[Camillo]

Quando nel primo caso risali alla matrice completa ottieni che solo i valori $k=1, k=3 $ annullano la matrice , altrimenti la matrice è di ordine 3 .
Il valore $ k=6 $ per cui si annullava la matrice 2x2 non conta più perché vedi che la matrice completa non si annulla per $k=6 $ ma solo per $k=1 , k=3 $ .
A mio giudizio essendo la matrice data quadrata, conviene calcolarne il determinante subito e poi procedere...

[ezio1400]

Ah ok quindi devo tenere in conto solo gli ultimi risultati di k per cui $ det != 0 $ ok grazie

[Camillo]

Devi orlare in tutti i modi , ad es. se orli l'elemento $a_(3,3)$ così $((1,3),(0,1))$ già vedi che ha det $ne 0 $ e quindi $ k=6 $ non è un valore "critico ".

[ezio1400]

Devi orlare in tutti i modi , ad es. se orli l'elemento $a_(3,3)$ così $((1,3),(0,1))$ già vedi che ha det $ne 0 $ e quindi $ k=6 $ non è un valore "critico ".

E se nel caso dovessi calcolare la caratteristica di una matrice rettangolare con i parametri in questo caso ottengo certamente almeno due conclusioni diverse. Ad esempio ho la matrice $ ( ( k , -5, k-1, 5 ),( 1 , k , 3 , 4 ),( 0 , 2 , 1 , 1 ) ) $
-Calcolo il determinate del minore $ ( ( k , -5 , 5 ),( 1 , k , 4 ),( 0 , 2 , 1 ) ) $
Conclusione 1: il rango è uguale a 3 solo se $ k!=5 ^^ k!=3 $
-Calcolo il determinate del minore $ ( ( k , k-1, 5 ),( 1 , 3 , 4 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
Conclusione 2: il rango è uguale a 3 solo se $ k!=3 $

[Camillo]

La strada maestra è partire da una sottomatrice quadrata di ordine massimo possibile che abbia det $ne 0 $; in questo caso scelgo $((3,4),(1,1)) $ che ha det $ne 0 $, ( non contiene parametro $k $ che complica la vita ) e quindi la matrice rettangolare ha almeno rango 2 .

D'altronde $2<= r(A) <= 3 $ ( infatti più di 3 non può essere perché ci sono solo 3 righe).
Dopodiché orli la matrice 2x2 in tutti i modi possibili e studi i risultati.
Ci sono solo 2 sottomatrici 3x3 a partire dalla 2x2.
$a=((k,k-1,5),(1,3,4),(0,1,1)) $ e anche $b= ((-5,k-1,5),( k,3,4),(2,1,1)) $
Fatti i calcoli il det della prima a) si annulla per $k=3$ come hai trovato tu.
Il det della seconda b) si annulla per $k=11 ; k=3 $.Dunque se $ k= 11 $ $r(A) = 3 $ perché c'è " in soccorso" la matrice a ) che non si annulla per quel valore.

Invece se $k=3 $ entrambi i det delle matrici a),b) si annullano e alora $r(A)= 2 $ .NON ci sono altre matrici da valutare.
Tu però hai usato 2 matrici 3x3 ( che entrambe si annullano per $k=3$ ) ma ancora non puoi dire che $r(a) =2 $ perché non hai considerato una matrice la "mia " b) che però pure essa si annulla per $ k=3 $ Segui la strada maestra...

[ezio1400]

Il det della seconda b) si annulla per $k=11 ; k=3 $.Dunque se $ k= 11 $ $r(A) = 3 $ perché c'è " in soccorso" la matrice a ) che non si annulla per quel valore.

Non ho ancora ben capito. Mi stai dicendo forse che dovrei calcolare tutte le matrici 3x3 (in questo caso) e considerare quella che possiede il minor numero di valori che k assumerebbe per far si che $ det = 0 $?

[Camillo]

*Facciamo il caso di essere arrivati a 3 diverse sottomatrici di ordine 3x3 che si annullano per
Prima $k=1,k= 5 $
Secoonda $k= 2,k=7 $
Terza $k= 4,k=9 $
in questo caso il rango è 3 per qualunque valore di $k$ ok ? se considero $k=1 $ allora considero la seconda matrice che non si annulla per $k=1 $ e quindi ho trovato una sottomatrice di rango 3 che non si annulla etcetc


*Altro caso
prima $ k=1,K=5 $
seconda $k= 5,k=8$
terza $ K = 5,k= 9 $
In questo caso il rango della matrice è 3 per qualunque valore di $k $ eccetto che per il valore $k=5 $ per cui vale 2 .ok ?
Qui invece tutte le sottomatrici si an nullano per $k= 5 $ e dunque rango della matrice non può essere 3 .

[ezio1400]

*Facciamo il caso di essere arrivati a 3 diverse sottomatrici di ordine 3x3 che si annullano per
Prima $k=1,k= 5 $
Secoonda $k= 2,k=7 $
Terza $k= 4,k=9 $
in questo caso il rango è 3 per qualunque valore di $k$ ok ? se considero $k=1 $ allora considero la seconda matrice che non si annulla per $k=1 $ e quindi ho trovato una sottomatrice di rango 3 che non si annulla etcetc


*Altro caso
prima $ k=1,K=5 $
seconda $k= 5,k=8$
terza $ K = 5,k= 9 $
In questo caso il rango della matrice è 3 per qualunque valore di $k $ eccetto che per il valore $k=5 $ per cui vale 2 .ok ?
Qui invece tutte le sottomatrici si an nullano per $k= 5 $ e dunque rango della matrice non può essere 3 .

Ah ok, ma quindi mi tocca svolgere tutte le sottomatrici 3x3 ad esempio ( che nel caso che mi hai mostrato sono 3 ) per arrivare alla conclusione finale?

[Camillo]

Sì e parti sempre dal minore di ordine più elevato possibile che abbia det $ne 0 $ e poi orla in tutti i modi possibili.