Prodotto fra tensori e prodotto tensoriale

[GiorgioComitini]

Buongiorno. Qualcuno potrebbe dirmi se esistono differenze sostanziali tra il prodotto fra tensori e il prodotto tensoriale, se si considerano gli spazi vettoriali tra cui è definito il prodotto tensoriale come tensori sul campo di definizione?

[Pappappero]

In generale, l'algebra tensoriale ha un'operazione naturale, tra tensori, che e' il prodotto tensoriale. Tuttavia non credo che tu intendi questo quando dici "prodotto tra tensori". Se il tuo prodotto tra tensori e' la contrazione (un'operazione simile al prodotto tra due matrici), allora e' una cosa completamente diversa dal prodotto tensoriale.

Se specifichi un po' meglio cosa intendi con "prodotto tra tensori" e "prodotto tensoriale" forse si riesce ad aiutarti piu' facilmente.

[Emar]

Interessa molto anche me. Ne avevamo parlato qui, poi ho avuto altro da fare e ho lasciato perdere.

Vi leggerò sperando di schiarirmi le idee

[GiorgioComitini]

Certo. Ti avverto che non riferendomi a definizioni rigorose potrebbe esserci qualche imprecisione, ma dovresti capire lo stesso a cosa mi riferisco, le due operazioni sono note nei rispettivi ambiti. Per prodotto fra tensori non intendo la contrazione, ma l'operazione lineare $p(T,V)=F$ di modo che se, ad esempio, T e V sono entrambi tensori controvarianti del primo rango, allora per quanto riguarda le componenti dei tensori $F^{ij}=T^{i}V^{j}$, e $F$ è un tensore controvariante del secondo rango. Per prodotto tensoriale invece intendo il prodotto $\otimes$ fra due spazi vettoriali, che genera uno spazio vettoriale prodotto con le operazioni definite negli spazi vettoriali di partenza. Dato che uno spazio vettoriale $n$-dimensionale può essere visto come un'operazione multilineare sul campo di definizione, che assegna a $n$ copie del campo il vettore dello spazio, mi chiedevo se il prodotto tensoriale tra due spazi vettoriali non si potesse in ultima analisi ridurre al prodotto fra tensori di cui dicevo prima. Ad occhio, senza controllare rigorosamente le definizioni, mi sembra che il prodotto fra tensori di due spazi vettoriali (intesi come tensori) uno $n$- e uno $m$-dimensionale genererebbe elementi che sono matrici contenenti il prodotto delle posizioni dei vettori degli spazi di partenza. Pertanto non viene generato un secondo spazio vettoriale equivalente al prodotto tensoriale $\otimes$ tra i due spazi. Mi chiedo se esista una configurazione delle operazioni tale che le due operazioni coincidano. In caso contrario, mi chiedo come mai il prodotto $\otimes$ venga chiamato prodotto tensoriale, se non ha proprietà tensoriali.

[Pappappero]

Io non direi che le due operazioni coincidono perche' una riguarda spazi vettoriali e l'altra vettori; ma diciamo che sono la stessa operazione una volta letta sugli spazi vettoriali e una volta letta sui vettori. Piu' precisamente, provero' a spiegarla come segue.

Sia $V$ uno spazio vettoriale. Il prodotto tensoriale di $V$ con se stesso da' origine a un altro spazio vettoriale $V \otimes V$, che indichiamo $V^{\otimes 2}$. Piu' in generale, se facciamo il prodotto tensoriale di $k$ copie di $V$ otteniamo un nuovo spazio vettoriale $V^{\otimes k}$.

Se ho capito bene la tua domanda, ti stai chiedendo se ogni elemento di $V^{\otimes k}$ e' della forma $v_1 \otimes ... \otimes v_k$ per certi elementi $v_1,...,v_k$ di $V$. La risposta e' no: gli elementi di quella forma sono i cosiddetti tensori di rango $1$ (in $V^{\otimes 2}$, identificato con uno spazio di matrici, sono proprio le matrici di rango $1$) [nota: formano una varieta' algebrica affine in $V^{\otimes k}$ chiamata varieta' di Segre]. Tuttavia ogni elemento di $V^{\otimes k}$ e' generato da tensori di rango $1$.

Se vogliamo, possiamo considerare la somma diretta di tutte le potenze tensoriali di $V$, ottenendo quella che viene chiamata l'algebra tensoriale di $V$:
\[
W = V \oplus V^{\otimes 2} \oplus V^{\otimes 3} \oplus ...
\]
(per ragioni tecniche si dovrebbe includere all'inizio un $V^{\otimes 0}$ che coincide con il campo su cui e' definito $V$, ma per il momento facciamo finta di nulla)

$W$ e' uno spazio vettoriale enorme, che ha anche un'operazione di prodotto. Definiamo questo prodotto su elementi omogenei e di rango $1$, ovvero elementi che appartengono a un addendo diretto di $W$ e che abbiano la forma $v_1 \otimes ... \otimes v_k$ per un qualche $k$. Ad esempio, prendiamo $w_1,w_2$ con $w_1 \in V^{\otimes d_1}$ e $w_2 \in V^{\otimes d_2}$ della forma \(w_1 = v^1_1 \otimes ... \otimes v^1_{d_1}\), \(w_2 = v^2_1 \otimes ... \otimes v^2_{d_2}\). Definiamo il loro prodotto come
\[
w_1 \otimes w_2 = v^1_1 \otimes ... \otimes v^1_{d_1} \otimes v^2_1 \otimes ... \otimes v^2_{d_2}
\]
che e' un elemento di rango $1$ in $V^{\otimes (d_1 + d_2)}$. Questa operazione si puo' estendere bilinearmente in modo che soddisfi le proprieta' distributive rispetto alla somma.

Da questo punto di vista, l'operazione di prodotto tra tensori e' proprio quell'operazione che manda due elementi di due spazi vettoriali in un elemento nello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale dei due spazi di partenza.

[GiorgioComitini]

Ti ringrazio per la risposta. Le operazioni di cui parli vanno leggermente al di là della mia intuizione, quindi mi dovrò sedere con carta e penna davanti per verificare quello che mi hai detto. In ogni caso mi confermi che non si può andare da un prodotto all'altro senza passare attraverso la somma diretta? Fa comunque piacere sapere, nella mia ignoranza, che oltre alle varietà topologiche e a quelle differenziabili esistono le varietà algebriche. Credo che tu mi abbia appena fatto perdere altri mesi della mia vita

[GiorgioComitini]

Ok, sono tornato con le definizioni alla mano. Mi sono reso conto che in realtà quando parlavo di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali intendevo il loro prodotto diretto, ossia della loro somma diretta. In ogni caso seguo la tua spiegazione e ti dico quello che ho capito. Ho uno spazio vettoriale $V$ e ottengo attraverso il prodotto tensoriale lo spazio $V^{\otimes k}$. Per quanto ne so io, i suoi elementi si esprimono in effetti con $v_{1}\otimes ... \otimes v_{k}$. Questo lo so dalla meccanica quantistica, nella quale si utilizza il prodotto tensoriale per ottenere costruzioni quali i sistemi a più particelle, sfruttando il fatto che (correggimi se sbaglio) gli operatori e le forme lineari che agiscono separatamente su due spazi $V$ e $W$ mantengono questa separazione nello spazio $V\otimes W$ dato dal prodotto tensoriale. Io descriverei questo comportamento dicendo che il prodotto tensoriale "mantiene indipendenti" gli spazi di partenza. Rispetto a questo fatto, mi viene il dubbio che operazioni di questo tipo non possano comunque essere condotte a partire dal prodotto diretto (differente in questo caso dalla somma diretta, dato che gli spazi sono generalmente di Hilbert ed infinito-dimensionali) tra i due spazi. Ma dato che in meccanica quantistica hanno fondamentale importanza espressioni simmetriche ed antisimmetriche come $u\otimes v\pm v\otimes u$, a mio parere è il prodotto tensoriale, e non quello diretto, ad essere utilizzato. Detto questo, torniamo all'argomento principale.

Mi dicevi che gli elementi di $V^{\otimes K}$ non sono della forma $v_{1}\otimes ... \otimes v_{k}$ per certi elementi di $V$, e questo non so come spiegarmelo, se non in funzione del comportamento rispetto alle operazioni definite sugli spazi di partenza e di arrivo, oppure rispetto ad operazioni quali quelle che ti descrivevo poco fa. Dimmi tu se ho capito bene. Se ho capito che cosa intendi, un'espressione della forma $v_{1}\otimes ... \otimes v_{k}$ per certi elementi di $V$ dovrebbe esistere per il prodotto diretto, ma non per quello tensoriale, e infatti il prodotto diretto genera vettori, che sono tensori di rango $1$. Al contrario, il prodotto tensoriale genera elementi che non sono di rango $1$ (a meno di inserire nel prodotto il campo degli scalari), ed è proprio perché genera elementi di rango superiore che ha senso chiamarlo prodotto tensoriale. Lo spazio $W$ è quindi la somma diretta degli spazi dei tensori di rango dallo $0$ (scalari) ad infinito, che sono quelli che abbiamo chiamato $V^{\otimes K}$, ed è per questo che su di esso si può definire il prodotto fra tensori. In sostanza, il prodotto diretto tra due spazi vettoriali genera uno spazio vettoriale, mentre il prodotto tensoriale tra due spazi vettoriali genera uno spazio di tensori (di rango $2$?), e il prodotto fra tensori è definito solo a meno di metterci nello spazio contenente come sottospazi tutti gli spazi di tensori di rango qualsiasi. Ed è per questo che il prodotto tensoriale prende il suo nome: perchè all'interno dello spazio $W$ esso coincide con il prodotto fra due tensori di rango $1$.

Ti chiedo scusa se sono poco rigoroso nelle nozioni che ho, purtroppo i fisici hanno l'abitudine di non curarsi troppo della matematica che sta alla base di quello che fanno, e per questo motivo la mia istruzione è piuttosto carente sotto questo punto di vista.

[Pappappero]

Un paio di osservazioni. Il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali e' uno spazio vettoriale. Gli elementi di un prodotto tensoriale $V_1 \otimes V_2$ si chiamano tensori (del secondo ordine, il rango e' una cosa diversa). In generale, in uno spazio vettoriale non e' definito un prodotto (se ho due vettori di $\mathbb{R}^n$ non posso in generale costruire un vettore di $\mathbb{R}^n$ che sia il loro prodotto); quindi se vogliamo definire un'operazione di prodotto dobbiamo in qualche modo estendere lo spazio dove ci troviamo, creando l'algebra tensoriale che ho cercato di presentare sopra.

Tuttavia, nulla vieta di restringere l'operazione di prodotto tensoriale a casi particolari, senza per forza tirare in ballo l'algebra tensoriale. In generale, si puo' definire un'operazione (bilineare)
\[
\otimes : V_1 \times V_2 \to V_1 \otimes V_2
\]
che manda una coppia $(v_1,v_2)$ in $v_1 \otimes v_2$.

Ora, somma diretta ($\oplus$) e prodotto diretto ($\times$) sono sostanzialmente la stessa cosa (almeno quando si fanno somme o prodotti di un numero finito di elementi; la terminologia non e' uniforme quando si passa a un numero infinito di spazi). Si usano (o almeno, io li uso) in modo diverso a seconda del contesto: se si vuole enfatizzare il fatto che stiamo trattando coppie (o piu' in generale $n$-uple) ordinate di elementi, magari si preferisce parlare di prodotto diretto; se si vuole enfatizzare il fatto che la somma/prodotto diretto fornisce un'operazione, si parla di somma diretta; ma dipende dagli autori e i due concetti sono quasi sempre intercambiabili.

Tornando ai tensori gli elementi di $V^{\otimes k}$ non sono tutti della forma $v_1 \otimes ... \otimes v_k$. Quelli sono elementi particolari, detti tensori di rango 1 (in fisica corrisponde a una situazione in cui non c'e' entangelment credo, ma la mia conoscenza di queste cose in fisica e' quasi zero).

Esistono tuttavia tensori che non si possono scrivere in questa forma facile: piu' precisamente, l'operazione $\otimes$ che ho definito sopra, non e' suriettiva. Ad esempio, prendiamo $E,F$ spazi vettoriali di dimensione $2$ e prendiamo $e_1,e_2$ base di $E$ e $f_1,f_2$ base di $F$. Il tensore di $T \in E \otimes F$ definito da $T = e_1\otimes f_1 + e_2 \otimes f_2$ non si puo' scrivere come tensore di rango $1$ (ha in effetti rango $2$). Se si scrive tutto in coordinate, gli elementi di $E \otimes F$ possono essere identificati con matrici $2 \times 2$. Si puo' osservare che i tensori che si possono scrivere come $v \otimes w$ corrispondono alle matrici di rango $1$, quelli che non si possono scrivere come $v \otimes w$ corrispondono alle matrici di rango $2$.

[vict85]

@Pappappero : Attento che la somma diretta è segnato con \(\displaystyle \oplus \) e non con \(\displaystyle \otimes \) (ovvero il simbolo per il prodotto tensoriale).


Anche nell'algebra tensoriale \(\displaystyle T(V) = \bigoplus_{p,q} T^p_q(V) = T^{\bullet}(V)\otimes T_{\bullet}(V) = T^{\bullet}(V)\otimes T^{\bullet}(V^{\ast}) \) mi sembra che ci sia una certa confusione tra prodotto tensoriale e somma diretta. Esse sono due operazioni distinte dell'algebra e non vanno confuse.

La somma è a tutti gli effetti la somma della struttura di algebra. Seppure sia poco comune sfruttarla, essa afferma semplicemente che ogni elemento di \(\displaystyle T(V) \) è somma di un numero finito di tensori di tipo diverso. Non è qualcosa che si vede spesso, insomma non capita quasi mai di avere a che fare con la somma di un tensore di tipo \(\displaystyle (2,3) \) con un tensore di tipo \(\displaystyle (0,5) \). Si noti che un tensore di questo tipo non ha tipo, ovvero è un tensore non omogeneo. La sua utilità è solo ed esclusivamente di tipo algebrico: a noi interessano tensori omogenei.

Il prodotto tensoriale è invece il prodotto dell'algebra ed è l'operazione sopra cui è costruita la graduazione. Il prodotto tensoriale di un tensore di tipo \(\displaystyle (2,3) \) con un tensore di tipo \(\displaystyle (0,5) \) è un tensore di tipo \(\displaystyle (2,8) \). All'interno di ogni sottospazio omogeneo \(\displaystyle T^p_q(V) =T^p(V)\otimes T_q(V) = V^{\otimes p} \otimes (V^{\ast})^{\otimes q} \) vi è invece la normale struttura di spazio vettoriale. Il prodotto tensoriale, in questo sottospazio, ha solo il significato di "segnaposto"¹ e la somma è la normale somma vettoriale (seppur sia di fatto la versione locale della somma diretta globale).

Va comunque notato che spesso si parla di tensori simmetrici e tensori antisimmetrici in maniera leggermente impropria. L'algebra esterna e l'algebra simmetrica, seppur siano linearmente isomorfi a dei sottospazi lineari di \(\displaystyle T(V) \), non sono sottoalgebre di quest'ultima ma più propriamente algebre quozienti². Insomma i prodotti \(\displaystyle \wedge \) e \(\displaystyle \cdot \) non sono la restrizione del prodotto tensoriale. Sinceramente io vedo pochi reali vantaggi a trattarli come tensori invece di oggetti differenti (tranne forse dover ripetere la teoria più volte).

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Note

1. Fissata una base di \(\displaystyle V^{\otimes 2} \), questo spazio è in tutto e per tutto assimilabile allo spazio delle matrici \(\displaystyle 2\times 2 \). ↑
2. Ad essere fiscali l'isomorfismo è vero solamente per campi di caratteristica \(\displaystyle 0 \). ↑

[GiorgioComitini]

Molto bene, facciamo dei progressi! Quando parlavo di rango di un tensore mi riferivo a quello che Pappappero chiama ordine. Di solito studio in inglese, e finora ho trovato più di frequente il termine "rank" rispetto ad "order", che viene utilizzato più spesso nell'ambito dei campi tensoriali-forme differenziali su varietà (almeno per il poco che ho visto finora).
Con l'esempio del prodotto tra vettori della base credo di aver capito il concetto. Il prodotto tensoriale, se inteso come operazione autonoma tra due spazi $E$ ed $F$, non genera l'intero spazio $E\otimes F$, ma (ad occhio) un suo sottospazio. Mentre invece lo spazio-prodotto tensoriale $E\otimesF$ è l'intero spazio, contenente come sottospazio l'insieme dei prodotti tensoriali tra gli elementi di $E$ ed $F$. In effetti, e mi riferisco alla definizione di Wikipedia quindi scusate se manca qualcosa, questo è coerente con la definizione di prodotto tensoriale come la coppia $(E\otimesF,\otimes)$, e non come lo spazio generato dal prodotto tensoriale tra gli spazi di partenza. Detto questo, così veniamo al succo della domanda iniziale, mi confermate che ogni elemento della forma $e\otimes f$ è un tensore del secondo ordine di tipo $(2,0)$, mentre un prodotto della forma $e\otimes...\otimes f$ tra più di due spazi vettoriali è un tensore di ordine pari al numero $n$ di fattori di tipo $(n,0)$? L'adeguatezza del nome "prodotto tensoriale" deriva allora dalla bilinearità e dalla sua capacità di produrre tensori di ordine superiore?

Dato che gli elementi di $(E\otimesF,\otimes)$ non sono assolutamente della forma $e^{i}f^{j}$ per certi elementi di componenti $e^{i}$ ed $f^{j}$ degli spazi di partenza, evidentemente prodotto tensoriale e prodotto fra tensori (i tensori sono qui i vettori di componenti $e^{i}$ ed $f^{j}$, di tipo $(1,0)$) non possono coincidere, nonostante la bilinearità di entrambi i prodotti.

Da quello che dice Vic mi sembra definito, oltre al prodotto fra tensori, anche il prodotto tensoriale tra spazi di tensori. Allora nel caso dello spazio prodotto ottenuto da spazi di tensori omogenei, i.e. $V^{\otimes n}\otimes V^{\otimes m}$ (idem per il prodotto ottenuto dai duali), tale spazio coincide con lo spazio $V^{\otimes (n+m)}$?

P.S.: le particelle rappresentate da elementi del tipo $u\otimes v\pm v\otimes u$ sono entangled. In meccanica quantistica, per ragioni di indistinguibilità tra le particelle, non possono esistere coppie di particelle identiche non rappresentate da forme simmetriche o antisimmetriche. Quindi sì, gli elementi di rango $1$ dovrebbero essere non-entangled.