Matrice Associata a un applicazione lineare

[faffaegnam]

Il mio dubbio riguarda le matrici associate alle applicazioni lineari quando le basi di partenza e arrivo sono entrambe diverse da quelle canoniche

Ad esempio se ho un esercizio del genere:

Sia $T:R3→R3$ l'applicazione lineare definita da :
$T(x,y,z)=(2x,y,0)$
determinare la matrice $A$ associata a $T$ rispetto alla base $B={(1,0,1),(0,1,−1),(1,1,−1)}$ dello spazio di partenza e alla base canonica $E$ dello spazio di arrivo

Allora facilmente svolgo cosi
$T(1,0,1)=(2,0,0)=2(1,0,0)+0(0,1,0)+0(0,0,1)$
$T(0,1,−1)=(0,1,0)=0(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1)$
$T(1,1,−1)=(2,1,0)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,0,1)$

quindi la matrice associata è \begin{Vmatrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}

mentre se la base di arrivo era diversa da quella canonica ma era del tipo $C={c_1,c_2,c_3}$ nel secondo passaggio avrei dovuto moltiplicare ad esempio le componenti $(2,0,0)$ ciascuna per $c_1,c_2,c_3$ oppure sbaglio ?

Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà

[garnak.olegovitc]

Se non ho letto male, la matrice da te scritta è corretta. Se la base del codominio fosse stata \( C \) allora dovevi ricavare le coordinate delle immagini da te calcolate (rispetto alla base \(C\)) e metterle in colonna (che è quanto hai fatto con la base canonica)

[faffaegnam]

Avrei dovuto fare cosi ?
$ T(1,0,1)=(2,0,0)=2c_1+0c_2+0c_3$
$ T(0,1,-1)=(0,1,0)=0c_1+1c_2+0c_3$
$ T(1,1,-1)=(2,1,0)=2c_1+1c_2+0c_3$
Oppure sto sbagliando ?

[garnak.olegovitc]

@faffaegnam,
non capisco..

Oggi sono in vena di scritture compatte, scusa se sarà ripetitivo (e solo che penso che ti sfuggono alcune cose), tu hai la base $$B:=\{b_1=(1,0,1),b_2=(0,1,-1),b_3=(1,1,-1)\} \subseteq \operatorname{dom} (T) $$ hai calcolato l'immagine di \( B\) rispetto ad \(T\) ovvero $$T(B):=\{T(b_1)=(2,0,0), T(b_2)=(0,1,0), T(b_3)=(2,1,0)\} \subseteq \operatorname{cod}(T)$$ adesso devi calcolare per ogni elemento di \(T(B)\) le sue coordinate rispetto alla nuova base \(C:=\{c_1,c_2,c_3\} \), ovvero prendi un \(T(b_i)\) con \(i \in \{1,2,3\}\) e verifica se $$ \exists (a_{j_i})_{j=1,2,3} \in \Bbb{R}^3 \text{ tale che }T(b_i)=\sum_{w=1}^3a_{w_i}\cdot c_w$$ se esiste allora hai appena calcolato le coordinate di \(T(b_i)\) rispetto alla nuova base \(C\) (cioè la \(i\)-esima colonna della matrice associata alle due basi..). Ti faccio l'esempio per \( T(b_1)=(2,0,0)\), nella verifica (preso un \((t_{j_1})_{j=1,2,3} := (t_{1_1},t_{2_1},t_{3_1})\in \Bbb{R}^3 \)) impongo la seguente $$T(b_1)=(2,0,0)=\sum_{w=1}^3t_{w_1}\cdot c_w=t_{1_1} \cdot c_1 + t_{2_1} \cdot c_2 + t_{3_1} \cdot c_3$$ se sono noti \(c_1,c_2,c_3\) ricavare \((t_{j_1})_{j=1,2,3}\) diventa semplicissimo.
Supponendo che sono noti gli elementi di \((t_{j_1})_{j=1,2,3}\), la tua matrice associata alle due basi avrà la prima colonna così fatta: $$\begin{Vmatrix}
t_{1_1}&? &? \\
t_{2_1}& ? & ?\\
t_{3_1} & ? & ?
\end{Vmatrix}$$ Prova ad applicare quanto ti ho detto nel caso iniziale con la base canonica

[faffaegnam]

ma non è la stessa cosa che ho detto io ? o c'è qualcosa che mi sfugge ?

[garnak.olegovitc]

@faffaegnam,
la domanda è seria? avevi scritto:

Avrei dovuto fare cosi ?
$ T(1,0,1)=(2,0,0)=2c_1+0c_2+0c_3$
$ T(0,1,-1)=(0,1,0)=0c_1+1c_2+0c_3$
$ T(1,1,-1)=(2,1,0)=2c_1+1c_2+0c_3$

prendiamo come base per \(\Bbb{R}^3\) il sistema \(C:=\{(1,5,0) , (0,3,1) , (9,0,1)\}\), secondo quando hai scritto avrei:

\(T(1,0,1)=(2,0,0)=2(1,5,0)+0(0,3,1)+0(9,0,1)=(2,10,0)+(0,0,0)+(0,0,0)=(2,10,0)\)
\(T(0,1,-1)=(0,1,0)=0(1,5,0)+1(0,3,1)+0(9,0,1)=(0,0,0)+(0,3,1)+(0,0,0)=(0,3,1)\)\(T(1,1,-1)=(2,1,0)=2(1,5,0)+1(0,3,1)+0(9,0,1)=(2,10,0)+(0,3,1)+(0,0,0)=(2,13,1)\)

e quindi la matrice sarebbe $$\begin{Vmatrix}
2&0 & 2\\
10& 3& 13\\
0& 1& 1
\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}
2&0 & 2\\
0& 1& 1\\
0& 0& 0
\end{Vmatrix}$$ secondo tè è corretto quanto hai scritto? Non penso (non si può andare avanti per assurdi), e non è quanto ho detto io! Inoltre risulta essere uguale¹alla matrice rispetto alla base canonica; domandati: "se fosse corretto a cosa serve la base? Applicando la teoria in modo giusto (ovvero calcolando le coordinate delle singole immagini rispetto alla nuova base \(C\)) è più corretto scrivere: $$T(1,0,1)=(2,0,0)=\frac{1}{8}(1,5,0)-\frac{5}{24}(0,3,1)+\frac{5}{24}(9,0,1)$$$$T(0,1,-1)=(0,1,0)=\frac{3}{16}(1,5,0)+\frac{1}{48}(0,3,1)-\frac{1}{48}(9,0,1)$$$$T(1,1,-1)=(2,1,0)=\frac{5}{16}(1,5,0)-\frac{3}{16}(0,3,1)+\frac{3}{16}(9,0,1)$$ e la matrice sarebbe$$\begin{Vmatrix}
\frac{1}{8}&\frac{3}{16} &\frac{5}{16}\\
-\frac{5}{24}& \frac{1}{48}&-\frac{3}{16}\\
\frac{5}{24}& -\frac{1}{48}&+\frac{3}{16}
\end{Vmatrix}$$

p.s.= spero di non aver fatto qualche errore di calcolo. Inoltre nel caso della base canonica \(e \subseteq \Bbb{R}^n\), dato un vettore \(v \in \Bbb{R}^n\), mi pare ovvio che le coordinate \([v]_e=v\) (se cambi base per \( \Bbb{R}^n\) ciò non vale)

---

Note

1. dove "uguale" è per assurdo ↑

[faffaegnam]

ti ringrazio per l'aiuto adesso mi è chiaro

purtroppo avevo fatto un' incredibile confusione infatti avevo ottenuto lo stesso risultato che avevi ottenuto tu cioè due matrici diverse che dovevano risultare uguali e ciò era alquanto illogico XD giustamente dovevo esprimere i vettori immagine come combinazione della nuova base di arrivo XD

vorrei farti un'altra domanda sempre inerente allo stesso esercizio, quest'ultimo continua dicendo che dato $w=(2,-1,1)$ calcolare $T(w)$ facilmente ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ;
l'esercizio prosegue dicendo di determinare la matrice con cui ho iniziato la discussione;
prosegue dicendo di determinare le componenti del vettore $w$ rispetto alla base $B$ (citata sopra) e ho ottenuto il vettore $(0,-3,2)$;
e infine mi dice di calcolare $T(w)$ utilizzando la matrice con cui ho iniziato la discussione
ora il mio dubbio sorge qui poichè ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ossia il vettore uguale a quello sopra e mi dice che non è un caso che venga uguale sapresti spiegarmi il perchè ? le componenti di un vettore non dovrebbero essere diverse per ogni base ?

[garnak.olegovitc]

che dato $w=(2,-1,1)$ calcolare $T(w)$ facilmente ottengo il vettore $(4,-1,0)$

esatto

determinare la matrice con cui ho iniziato la discussione

ok, spero su questa parte non vi siano ulteriori dubbi

determinare le componenti del vettore $w$ rispetto alla base $B$ (citata sopra) e ho ottenuto il vettore $(0,-3,2)$

esatto

infine mi dice di calcolare $T(w)$ utilizzando la matrice con cui ho iniziato la discussione
ora il mio dubbio sorge qui poichè ottengo il vettore $(4,-1,0)$ ossia il vettore uguale a quello sopra e mi dice che non è un caso che venga uguale sapresti spiegarmi il perchè ? le componenti di un vettore non dovrebbero essere diverse per ogni base ?

usando la matrice associata ti puoi calcolare le coordinate di \(T(w)\) rispetto alla base del codominio.
Sinceramente non capisco la tua domanda, spero di chiarire qualche dubbio... datto \(T \in \operatorname{Hom}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3, \Bbb{R}^3)\), la base \(B\) per il \(\operatorname{dom}(T)\) e la canonica \( E \) per il \(\operatorname{cod}(T)\), la matrice associata ad \(T \) rispetto alle basi \(B \) e \(E \) è la matrice \(\mathcal{M}^B_E \in \Bbb{R}^{(3 \times 3)}\) così fatta (come abbiamo visto) $$\mathcal{M}^B_E :=\begin{Vmatrix}2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{Vmatrix}$$ si può dimostrare facilmente, preso \(w=(2,-1,1) \in \Bbb{R}^3\), che $$\begin{Vmatrix}{t_1} \\ {t_2}\\ {t_3}\end{Vmatrix} =\mathcal{M}^B_E \times \begin{Vmatrix}0 \\ -3\\ 2\end{Vmatrix} \text{ con } (0,-3,2)=[w]_B\text{ e } ({t_1} ,{t_2},{t_3})=[T(w)]_E$$ inoltre tu hai come base del \(\operatorname{cod}(T)\) la canonica per la quale vale come ti ho detto prima:

Inoltre nel caso della base canonica \( e \subseteq \Bbb{R}^n \), dato un vettore \( v \in \Bbb{R}^n \), mi pare ovvio che le coordinate \( [v]_e=v \) (se cambi base per \( \Bbb{R}^n \) ciò non vale)

[faffaegnam]

Quindi vediamo se ho capito XD
Le componenti (4,-1,0) sono uguali perchè la base in arrivo è sempre quella canonica ? quindi in partenza potrei mettere qualsiasi base (chiaramente scrivendo le componenti del vettore come combinazione della base in partenza) basta che in arrivo rimane sempre la stessa base quindi otterrò sempre lo stesso vettore?

O sto facendo un errore grossolano come quello precedente ?

[garnak.olegovitc]

purtroppo non capisco la tua domanida, tagliamo la testa al toro e facciamo così, prendi il tuo omomorfismo \(T\) stavolta con la base per il dominio \(C:=\{(1,5,0) , (0,3,1) , (9,0,1)\}\) e la base canonica \(E\) per il codominio, dimmi le coordinate delle immagini dei vettori della base \(C\) rispetto alla base canonica E, ovvero: $$[T(1,5,0)]_E=?$$$$[T(0,3,1)]_E=?$$$$[T(9,0,1)]_E=?$$ Se riesci a fare questo piccolissimo esercizio e rispondere bene, suppongo che hai capito