Ciao
Lo sai qual è il problema (almeno per quanto mi riguarda)? E' che abbiamo delle notazioni differenti. Quindi non so se riuscirò a spiegarmi. Ma ci provo.
Una rappresentazione (complessa) di un gruppo \( \displaystyle G \) è un omomorfismo di gruppi \( \displaystyle G \to GL_n(\mathbb{C}) \) (dove \( \displaystyle GL_n(\mathbb{C}) \) è l'insieme delle matrici \( \displaystyle n \times n \) invertibili a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{C} \) ). In altre parole ad ogni elemento (operatore) \( \displaystyle g \) (ogni volta che scrivo \( \displaystyle g \) intendo un operatore) del gruppo \( \displaystyle G \) associamo una matrice \( \displaystyle n \times n \) invertibile \( \displaystyle f(g) \) . Per esempio questa è una rappresentazione del gruppo additivo \( \displaystyle (\mathbb{R},+) \) :
\( \displaystyle f: \mathbb{R} \to GL_2(\mathbb{C}) \) ,
\( \displaystyle a \mapsto f(a) = \left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array} \right) \)
Il fatto che è un "omomorfismo" significa che rispetta l'operazione (nell'esempio sopra, \( \displaystyle f(a+b) = f(a)f(b) \) , prova a fare il conto per convincerti). Questa rappresentazione ha un sottospazio invariante, che sarebbe \( \displaystyle L = \langle \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \rangle \) , nel senso che si ha \( \displaystyle f(g)(L) \subseteq L \) per ogni \( \displaystyle g \in G \) , cioè \( \displaystyle f(g) w \in L \) per ogni \( \displaystyle g \in G \) e per ogni \( \displaystyle w \in L \) . Quindi questa rappresentazione è "riducibile" (in altre parole, ammette sottospazi propri invarianti, come è L). Però purtroppo questa rappresentazione non è decomponibile come somma diretta di rappresentazioni irriducibili !! (cioè non ammette una decomposizione \( \displaystyle L \oplus W \) dove \( \displaystyle W \) è anch'esso invariante! - questo in termini di matrici significa che non è riconducibile a una matrice a blocchi collocati in diagonale - vedi sotto). Infatti per essere così dovrebbe avere almeno un altro sottospazio proprio invariante, e il problema è che L è l'unico sottospazio invariante! (prova a fare il conto: si tratta di cercare gli autospazi, infatti un sottospazio invariante in questo caso non è altro che un autospazio comune a tutti i \( \displaystyle f(g) \) ). Spero che tu conosca l'algebra lineare.
C'è una differenza tra "riducibile" e "decomponibile". Una rappresentazione \( \displaystyle \pi \) (complessa, come sempre, di dimensione \( \displaystyle n \) ) si dice riducibile se esiste un sottospazio proprio invariante (e non nullo, ovviamente). Si dice decomponibile se esistono due sottospazi \( \displaystyle L,W \) entrambi invarianti e non nulli e tali che \( \displaystyle \mathbb{C}^n = L \oplus W \) . Ogni rappresentazione decomponibile è riducibile ma non vale il viceversa. Per esempio la rappresentazione di \( \displaystyle \mathbb{R} \) che ho scritto sopra è riducibile ma non decomponibile.
Insomma, una rappresentazione \( \displaystyle G \to GL_n(\mathbb{C}) \) può ammettere un sottospazio invariante \( \displaystyle L \leq \mathbb{C}^n \) senza che esista un sottospazio invariante \( \displaystyle W \leq \mathbb{C}^n \) tale che \( \displaystyle \mathbb{C}^n = L \oplus W \) . Ma questo non succede mai per i gruppi finiti (questo risultato si chiama teorema di Maschke): se \( \displaystyle G \) è un gruppo finito (come nei tuoi casi) e \( \displaystyle \pi: G \to GL_n(\mathbb{C}) \) è una rappresentazione complessa di dimensione \( \displaystyle n \) allora \( \displaystyle \pi \) è completamente riducibile. Cosa significa? Significa che esistono sottospazi \( \displaystyle V_1,\ldots,V_k \) di \( \displaystyle \mathbb{C}^n \) che sono \( \displaystyle G \) -invarianti (cioè sono \( \displaystyle \pi(g) \) -invarianti per ogni \( \displaystyle g \in G \) ) e sono tali che \( \displaystyle V_1 \oplus \ldots \oplus V_k = \mathbb{C}^n \) . In termini di matrici questo significa che ogni \( \displaystyle \pi(g) \) ammette un cambio di base, indipendente dall'operatore \( \displaystyle g \) (cioè sempre lo stesso per ogni operatore), che lo porta a una rappresentazione a blocchi
\( \displaystyle \left( \begin{array}{cccc} B_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & B_k \end{array} \right) \)
Qui \( \displaystyle B_i \) è una matrice quadrata di dimensione uguale alla dimensione di \( \displaystyle V_i \) . Per capirci una matrice
diagonalizzabile non è altro che una matrice che si può portare in forma di blocchi tutti \( \displaystyle 1 \times 1 \) . Per esempio il caso della matrice identità (cioè, la rappresentazione \( \displaystyle \pi \) che manda ogni \( \displaystyle g \in G \) nella matrice identità) è il caso più felice di tutti perché la matrice identità è già decomposta in blocchi (tutti di dimensione \( \displaystyle 1 \) , e tutti uguali alla matrice \( \displaystyle (1) \) ).
In termini di matrici la differenza tra riducibile e decomponibile è questa: una rappresentazione riducibile può essere portata in forma di blocchi disposti dalla diagonale in su, cioè formando una matrice 'triangolare a blocchi', in altre parole sopra ai blocchi disposti nella diagonale principale non ci sono necessariamente zeri ma sicuramente ci sono zeri sotto. Invece una rappresentazione decomponibile può essere portata in forma di blocchi disposti in diagonale (come sopra). E' chiaro che ogni matrice 'diagonale a blocchi' è anche 'triangolare a blocchi' (questa è la versione matriciale del fatto che ogni rappresentazione decomponibile è riducibile). Ma come ripeto tu non ti devi preoccupare di questo aspetto perché nel caso di gruppi finiti, ogni rappresentazione riducibile è decomponibile (il che come ripeto si chiama teorema di Maschke).
Ora, se \( \displaystyle G \) è un gruppo
abeliano (cioè commutativo: significa che due elementi qualsiasi commutano tra loro), allora si può dimostrare che le sue rappresentazioni irriducibili hanno tutte dimensione 1 (questo è un caso molto speciale, quasi una magia! In generale le dimensioni sono maggiori di 1). In termini di tavole questo si traduce nel fatto che per un gruppo abeliano la prima colonna è composta di tutti uni (come
qui1), mentre per un gruppo non abeliano no (vedi
qui2). Quindi per il teorema di Maschke se \( \displaystyle G \) è un gruppo finito abeliano e \( \displaystyle \pi:G \to GL_n(\mathbb{C}) \) è una sua rappresentazione allora i \( \displaystyle \pi(g) \) sono simultaneamente diagonalizzabili (infatti lo puoi mettere a blocchi, tutti \( \displaystyle 1 \times 1 \) , e indipendentemente dall'operatore scelto), cioè esiste una matrice \( \displaystyle A \) tale che \( \displaystyle A^{-1} \pi(g) A \) è diagonale per ogni \( \displaystyle g \in G \) ! Osserva che \( \displaystyle A \) non dipende dall'operatore \( \displaystyle g \) , è sempre la stessa per ogni \( \displaystyle g \) .
Quello che tu chiami "gruppo punto \( \displaystyle C_{2v} \) " noi algebristi lo chiamiamo gruppo di Klein. Si tratta di un gruppo abeliano. Nel caso di gruppi abeliani la "tavola dei caratteri" è particolarmente semplice: in questo caso il numero di rappresentazioni complesse irriducibili è esattamente uguale al numero di elementi del gruppo, quindi 4 nel caso di \( \displaystyle C_{2v} \) . Siano esse \( \displaystyle \rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4 \) . Siano invece \( \displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4 \) i quattro elementi del gruppo. La tavola dei caratteri non è altro, in questo caso, che la tabella che ha \( \displaystyle \rho_i(a_j) \) nell'entrata \( \displaystyle (i,j) \) (mentre in generale, per gruppi non necessariamente abeliani, l'entrata \( \displaystyle (i,j) \) contiene la traccia di \( \displaystyle \rho_i(a_j) \) , dove i \( \displaystyle \rho_i \) sono le rappresentazioni irriducibili mentre gli \( \displaystyle a_i \) sono rappresentanti delle classi di coniugio). Se ci pensi questo ha senso: la traccia di una matrice 1x1 non è altro che l'unico elemento che compare nella matrice!
Occhio, non c'è un modo canonico di ordinare gli elementi \( \displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4 \) . L'unica scelta che si fa sempre è \( \displaystyle a_1 = 1 \) ( = l'elemento neutro del gruppo) (ed è per questo che la prima colonna di ogni tavola è composta delle dimensioni delle rappresentazioni irriducibili, quindi tutti uni se il gruppo è abeliano). E nemmeno c'è un modo canonico di ordinare \( \displaystyle \rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4 \) . L'unica scelta che si fa sempre è \( \displaystyle \rho_1 \) = la rappresentazione che manda ogni operatore nella matrice identica (ed è per questo che la prima riga di ogni tavola è composta di uni).
Nel caso di \( \displaystyle G = C_{2v} \) (come nel caso dei gruppi abeliani), i \( \displaystyle \rho_i \) sono gli omomorfismi
\( \displaystyle G \to GL_1(\mathbb{C}) = \mathbb{C}^{\ast} = \mathbb{C}-\{0\} \) .
In altre parole, omomorfismi da \( \displaystyle G \) al gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli (perché qui \( \displaystyle n=1 \) ? Perché come ho scritto sopra, le rappresentazioni irriducibili di un gruppo abeliano finito hanno dimensione 1). Ora spero di non spaventarti nel dire che un teorico dei gruppi sa benissimo quali sono questi quattro omomorfismi. Per come è fatto \( \displaystyle G \) , devono avere immagine contenuta in \( \displaystyle \{-1,1\} \) e quanto ai loro precisi valori, bisogna scegliere ognuno dei quattro sottogruppi normali (diversi da \( \displaystyle \{1\} \) ) nel ruolo di nucleo, di volta in volta, trovando esattamente i valori della tua tabella (che si trova anche
qui). Prima di approfondire vorrei sapere se è questo in particolare che ti turba. Dimmi se vuoi approfondire questo aspetto.
So che probabilmente non ho risposto a tutti i tuoi dubbi ma dimmi pure quali sono le cose che ti turbano di più. Ora devo chiudere ti leggo domani, ciao!
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
