Algebra lineare

[Pellegrini]

Sia $ A= { ( (x) , (y) , (z) ) $ appartenente $ R^3 $ tale che $ x-2z=0 }$ e sia:

$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $

1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H

Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!

[vict85]

Non dovrebbe essere un sottospazio di $End(R^3)$? Comunque la prima parte del 2 non dovrebbe dare troppi problemi. Che tentativi hai fatto a proposito. Hai identificato \(A^\perp\)?

[Pellegrini]

Ecco, calcolare una dimensione e una base di A l'ho fatto, penso correttamente, mentre per A perpendicolare non so come fare! Non riesco a capire come trovarlo, sui miei appunti non c'è questa spiegazione.. E' proprio quello che mi crea problemi A perpendicolare..

E sì scusami, un sottospazio di $End(R^3)$

[SeleneR]

Allora, sapendo che due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è uguale a zero non dovrebbe essere difficile trovare il vettore ortogonale ad A.. Quindi dovresti avere:

x'-2z'= 0

Ora qualunque vettore soddisfi questa equazione è corretto, ad esempio il vettore $ ( (1) , (0) , (0) ) $

Aspettiamo però la risposta di qualcuno di più competente, non vorrei dare suggerimenti sbagliati

[Pellegrini]

Io lo avrei impostato così:

$ A^(\bot) = {( (x) , (y) , (z) ) in R^3 $ tali che $ ( (0 , 0 , 1) , (0 , 1 , 0) , (1 , 0 , 0) ) ( (1) , (0) , (-2) )= 0} $

$ A^(\bot) = {( (x) , (y) , (z) ) in R^3 $ tali che $ -2x + z = 0} $

Qualcuno può confermare quello che ho scritto?

(Grazie comunque SeleneR per l'aiuto!)

[Carla1992]

Scusami non ho capito i passaggi che hai seguito

Comunque, secondo me, \( A^\perp \) te lo dà praticamente la traccia...
Se l'ho capita bene ti dice che $A$ è formato dai vettori $( (x) ,(y) ,(z) ) in RR^3 $ tali che $ x-2z=0 $ ,
e a me sembra che questo ultimo fatto si possa leggere come un prodotto scalare, dunque ...

[Pellegrini]

Su A sono d'accordo, ma non capisco il ragionamento su $ A^(\bot) $ ...

[Pellegrini]

Scusami non ho capito i passaggi che hai seguito

Comunque, secondo me, \( A^\perp \) te lo dà praticamente la traccia...
Se l'ho capita bene ti dice che $A$ è formato dai vettori $( (x) ,(y) ,(z) ) in RR^3 $ tali che $ x-2z=0 $ ,
e a me sembra che questo ultimo fatto si possa leggere come un prodotto scalare, dunque ...

[Carla1992]

La definizione di $A$ secondo me si può leggere come una condizione di ortogonalità :

$((x),(y),(z)) in A $ se e solo se $((x),(y),(z)) * ( (1), (0), (-2)) = 0 $

Ti torna ?

[Pellegrini]

Ecco, calcolare una dimensione e una base di A l'ho fatto, penso correttamente, mentre per A perpendicolare non so come fare!

Non sarebbe male vedere che base hai trovato, comunque direi che una possibile base è \(\{(2,0,1),(0,1,0)\}\).
Infatti, se \(x=2,y=0,z=1\) si ha \(x-2z=2-2=0\), mentre se \(x=z=0\) si ha \(x-2z=0-0=0\) quale che sia \(y\).
A questo punto, trovare \(A^\perp\) vuol dire trovare \(x,y,z\) tali che:
\[ \begin{cases} \begin{bmatrix} 2 & 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=2x+z=0 \\[10pt]
\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = y=0 \end{cases} \]
che porta a \((1,0,-2)\).
Infatti \((2,0,1)\cdot(1,0,-2)=0\) e \((0,1,0)\cdot(1,0,-2)=0\).
Quindi \(A\) ha dimensione 2 e una sua possibile base è \(\{(2,0,1),(0,1,0)\}\), \(A^\perp\) ha dimensione 1 e una sua possibile base è \(\{(1,0,-2)\}\).

NOn mi torna la base di $ A $... Potrei sapere che procedimento hai utilizzato? Io l'avevo impostato così:

A = ${( (x) , (y) , (z)) in R^3 $ tale che $ x-2z =0 } $= ${( (2z) , (0) , (z)) $ tale che $ x,z in R } $= $ {z( (2) , (0) , (1)) $ tale che $ z in R } $

Se ho sbagliato, potresti illustrarmi il procedimento corretto?