Brainstorming: orientabilità di una varietà?

[Martino]

Moderatore: Martino

Ragazzi, del confronto fisica-matematica si continui (per favore) a parlare in questo filone che ho creato appositamente.

[killing_buddha]

L'argomento richiesto non esiste!

[Martino]

Fatto, grazie

[lupoermeyo]

Scusate se riesumo questo vecchio post, però mi sorge una domanda leggendo il mio libro di testo.
Secondo voi perché si può affermare che ogni ipersuperfice parametrizzata embedded è sicuramente orientabile?

Secondo me perchè essendo una ipersuperficie e dalla definizione di embedding la matrice associata al differenziale deve avere rango massimo, questo porta a definire ovunque un vettore normale N non nullo e poi si deve vedere solo che il segno di questo vettore è concorde ovunque, cosa facile dato che l'embedding è un omeomorfismo locale.
Che ne pensate? Il libro lo da per scontato però non sò, non mi sembra una cosa scontatissima.

[lupoermeyo]

Nessuno di voi ha qualche idea a proposito?

[dissonance]

Devi chiarire prima le definizioni. Che è una "ipersuperficie parametrizzata embedded"?

[lupoermeyo]

Perdonami dissonance, credevo fosse chiaro.

Un Ipersuperficie $S$ è semplicemente una varietà differenziabile di dimensione $n-1$ nello spazio.
Per "parametrizzazione embedded" intendo che abbiamo una parametrizzazione iniettiva $F:= mathbb{R}^(n-1) rightarrow mathbb{R^n}$ di $S$ in modo che se restringiamo la parametrizzazione $F: D sub mathbb{R}^(n-1) rightarrow F(D) sub S$ questa è un omeomorfismo sull'imagine. In pratica è una carta locale (o l'inverso di una carta, noi purtroppo in classe chiamiamo carte entrambe le funzioni, sia $F$ che $F^-1$) .

Scusami ancora, sono stato più chiaro adesso?

[dissonance]

E allora è ovvio, perché $S$ è diffeomorfo ad $R^(n-1)$, mi pare, no?

[lupoermeyo]

Si, forse è ovvio. Però dovremmo vedere che l'orientabilità è invariante per diffeomorfismi.

Forse però no, ripensandoci hai ragione:

Il mio libro dice che "Un’ ipersuperficie S ⊂ $mathbb{R}^n$ si dice orientabile se ammette un campo vettoriale normale N continuo mai nullo", ora $mathbb{R}^(n-1)=K$ ha un banale campo normale vedendolo come immerso in $mathbb{R}^n$. Sapendo noi che il differenziale induce un isomorfismo tra i relativi spazi tangenti dobbiamo assumere che lo faccia anche sul rispettivo campo normale, giusto? Nel senso che il campo normale a $K$ visto come $dF(K)$ è normale alla varietà.

EDIT
sono stato un pò impreciso (un pò tanto) , $dF$ induce un isomorfismo tra spazi $mathbb{R}^(n-1)$, però possiamo estenderlo ad uno in $mathbb(R)^n$ in maniera semplice e da qui dovrebbe seguire quello che dicevo prima.

[dissonance]

Mah, mi sembra un sacco di tecnicismi non molto interessanti. E' ovvio che l'orientabilità è una proprietà differenziale, e sennò che starebbe a fare in questo contesto? Non puoi deformare un nastro di Moebius fino a farlo diventare una striscia diritta (e orientabile).