Sistema di vettori linearmente indipendenti

Messaggioda mmattiak » 24/05/2015, 16:12

È possibile estrarre da un sistema di vettori linearmente indipendenti, un sistema di vettori linearmente dipendenti?
mmattiak
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Re: Sistema di vettori linearmente indipendenti

Messaggioda alessandro8 » 24/05/2015, 17:33

Ciao.

Se per "sistema di vettori" intendi un insieme avente come elementi quei vettori, allora la risposta è negativa.

Avendo dei vettori linearmente indipendenti, prendendo a caso alcuni di essi (evitando, ovviamente, estrazioni ripetute di uno stesso vettore tra quelli dati), si otterranno nuovamente vettori linearmente indipendenti.

Infatti: supponendo per assurdo che, da un insieme di vettori $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ linearmente indipendenti si possano estrarre, tra questi, alcuni vettori $vec w_1, vec w_2, ....., vec w_m$ (con $m<n$ e con $vec w_i=vec v_j$ per un opportuno valore di $j$ con $i$ fissato), che siano linearmente dipendenti, dovremmo avere l'esistenza di scalari $a_i$ tale che valga:

$sum_{i=1}^m a_i*vec w_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli.

Estendendo la sommatoria su tutti gli $n$ termini della combinazione lineare e attribuendo valore nullo agli scalari associabili ai vettori $vec v_i$ non presenti tra i vettori $vec w_i$, avremmo

$sum_{i=1}^n a_i*vec v_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli

che contraddirrebbe l'ipotesi che $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ siano linearmente indipendenti.

Saluti.
alessandro8
 

Re: Sistema di vettori linearmente indipendenti

Messaggioda garnak.olegovitc » 24/05/2015, 17:45

mmattiak ha scritto:È possibile estrarre da un sistema di vettori linearmente indipendenti, un sistema di vettori linearmente dipendenti?

non penso, anche perchè se non erro e sempre valida la seguente :roll: :

  • sia nello spazio vettoriale \(V \supseteq \{v_i\}_{i=1}^n\) un sistema di vettori libero sul campo \(\Bbb{K}\) allora$$ \{v_k\}_{k=1}^i \mbox{ è libero sul campo } \Bbb{K}, \; \forall i \in \{1,2,...,n\}$$
pensaci un po sopra (e prova a dimostrare anche)
\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
\( [ (R|R^{-1}) \; \cap \; Di\;] \cup [(R^{-1}|R) \; \cap \; Di\;] \cup [\;\sim R \;\dagger \emptyset\;] \cup [\;\emptyset \; \dagger \sim R \;] = \emptyset \)
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