Esercizio sui Campi Coordinati

[vict85]

Penso che il suggerimento si riferisse a questo:

Sia \(\displaystyle (U,\phi) \) una carta centrata in \(\displaystyle P \) e siano \(\displaystyle u_i = x_i\circ\phi \) dove le \(\displaystyle x_i \) sono le normali funzioni coordinate di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ovvero \(\displaystyle x_i\colon (p_1,\dotsc,p_i,\dotsc,p_n)\mapsto p_i \). Non so se tu usi una differente notazione.

Siccome \(\displaystyle X(P)\neq 0 \) allora esiste un \(\displaystyle i \) tale che \(\displaystyle Xu_i(P)\neq 0 \). Per le ipotesi esiste una carta connessa \(\displaystyle (V,\psi) \) tale che \(\displaystyle Xu_i(P)\neq 0 \) su tutto \(\displaystyle V \).
Se vuoi una dimostrazione topologica puoi usare il fatto che la varietà è T3 (se non ricordo male) e il punto \(\displaystyle P \) può essere separato dal chiuso \(\displaystyle \{ Q\in S : Xu_i(Q) = 0 \} \) da un qualche aperto. Eventualmente prendendone uno più piccolo abbiamo la nostra carta.

Sia \(\displaystyle V_0 = \{ Q\in V : u_i(Q) = 0 \} \). Questa è una \(\displaystyle n-1 \) sottovarietà.

Il pullback \(\displaystyle \psi^{\ast} X \) definisce un sistema di equazioni differenziali ordinario del primo ordine su \(\displaystyle \psi V_0 \). Eventualmente prendendo un aperto più piccolo (incluso in qualche compatto per esempio) esiste un \(\displaystyle T>0 \) tale che la soluzione \(\displaystyle c_{Q} \) del sistema di EDO in ogni punto \(\displaystyle Q\in \psi V_0 \) è ben definita con immagine in \(\displaystyle \psi V \) per ogni valore dell'intervallo \(\displaystyle (-T,T) \). Sia \(\displaystyle \Phi\colon V_0\times (-T,T)\to \psi S \) la funzione definita come \(\displaystyle \Phi(Q,s) = c_Q(s) \). Definisco infine \(\displaystyle \tilde{U} \) come la controimmagine tramite \(\displaystyle \psi \) di \(\displaystyle \Phi( \) (nota che sia \(\displaystyle \Phi \) che \(\displaystyle \psi \) sono diffeomorfismi) e la \(\displaystyle \varphi \) la funzione inversa di \(\displaystyle \psi^{-1} \circ \Phi \) e ho la carta che cercavo. Se non ho fatto errori da qualche parte ovviamente.

Per semplificarsi la vita si può supporre che \(\displaystyle \psi V = \bigcap_i \{ P\in \mathbb{R}^n : -1 < x_i < 1 \} \). Ogni carta contiene una carta di questo tipo.

[lupoermeyo]

Ciao, grazie della risposta!

Mi sembra tutto molto chiaro, però volevo chiederti solo un paio di cose riguardo ad alcune notazioni che hai usato.
Quando scrivi $Xu_i(P)$ cosa intendi precisamente? Io lo ho inteso come $X@u_i(P)$, se ho interpretato correttamente però mi sorge un dubbio. $u_i(P) in mathbb{R}$ mentre invece il campo $X:= S rightarrow mathbb{R}^n$. Certo la varietà $S$ possiamo vederla come immersa in qualche $mathbb{R}^k$ ma questo come ci garantisce che la funzione $X@u_i(P)$ sia definita? Anche se la vedessimo come $X@phi(P)$ rimarrebbe lo stesso problema, nessuno ci garantisce che $phi(P) in S$ giusto? Probabilmente mi sono perso qualcosa

L'altra cosa che non ho ben capito è come hai fatto a dedurre che le varietà sono $T3$. Al mio livello (molto basilare, per me è la prima volta che incontro varietà) abbiamo definito le varietà come spazi topologici di Housdorff e paracompatti localmente isomorfi ad aperti di $mathbb{R}^n$ probabilmente da come ne parli tu queste nozioni sono equivalenti, giusto? Forse ho delle lacune in topologia, per caso $mathbb{R}^n$ è $T3$?

La parte finale sul pushforward invece credo di averla capita abbastanza, mi è piaciuto tantissimo come hai impostato il problema, è molto elegante e funzionale. Non credo mi sarebbe venuto in mente. Certo, continuo a non capire bene cosa intenda il mio professore quando parla di "integrare il campo su una n-1 sottovarietà", però forse c'è qalche connessione logica più profonda che ancora mi sfugge.

Grazie ancora per l'aiuto con questa bellissima ma, ahime, ancora ostica materia

[vict85]

Ho usato quella notazione per essere più vicino a quella che hai usato tu, probabilmente a torto. Io con \(Xu_i(P)\) intendevo \(X_pu_i\) ovvero la derivazione della funzione \(u_i\) rispetto a \(X\). Altre notazione potrebbero essere \(\langle X, du_i\rangle_P\) e similari. Di fatto si tratta della componente di \(X\) nella \(i\)-esima direzione. Probabilmente in questi termini era più semplice.

In sostanza ho considerando un direzione in cui \(X\) aveva componente non nulla e ho sfruttato questo fatto per muovere lungo \(X\) un iperspazio. Siccome il movimento in quella direzione era sempre dello stesso segno questo mi garantiva che non passavo due volte dallo stesso punto. Se ci pensi in \(\mathbb{R}^2\) con un campo vettoriale costante diventa piuttosto intuitiva come cosa.

Sulla questione di T3 sono andato a controllare in giro sulla rete. Comunque puoi vedere qui http://topospaces.subwiki.org/wiki/Loca ... ly_regular come può essere dimostrato anche se è conseguenza di altri risultati. Che una varietà sia un spazio di Haudorff localmente compatto penso che tu lo sappia. Può essere utile sapere che è anche paracompatta. Insomma una varietà è un oggetto topologico piuttosto “buono”.

L'approccio che ho usato è piuttosto classico. Il termine integrale è riferito spesso alle soluzioni delle equazioni differenziali.

[lupoermeyo]

Ti ringrazio davvero moltissimo, ora è tutto più chiaro