Piani contenenti rette

[SeleneR]

Salve a tutti, sto facendo un esercizio che non riesco a concludere, potete darmi una mano? Ho due rette:

$ r : \{(4z + y = 1),(3y = x) :}$

$ s : \{(2y + z = 0),(3z - y = 2) :}$

I primi due punti dell'esercizio chiedevano la posizione reciproca delle rette e la discussione dell'eventuale esistenza di piani paralleli contenenti le due rette.
Il risultato è che le due rette sono sghembe, perciò esistono due piani paralleli tali che uno contiene r e l'altro s.

Chiede poi di calcolare questi piani e la loro distanza. Potete aiutarmi? Almeno su come trovarli, poi la distanza dovrebbe essere semplice e penso di potercela fare..!

Grazie a tutti

[ciampax]

Se i piani sono paralleli, hanno la stessa giacitura, o meglio, hanno una giacitura proporzionale. Quali sono, in generale, le giaciture dei piani che contengono le rette date? Se scrivi una uguaglianza di proporzionalità tra esse cosa ottieni?

[SeleneR]

In realtà non volevo passare alle equazioni parametriche.. In realtà ero partita individuando i vettori direzione delle due rette, però poi non so come andare avanti.. Ti dico come lo avevo impostato:

Sapendo che $\pi$ è un piano del fascio di piani passanti per $r$, posso anche dire che $ \pi $ // $ s -> < n_(\pi) , v_s > = 0$

$ v_s = det ((i,j,k),(0,2,1),(0,-1,3)) = 7i -> ( (7) , (0) , (0) ) $

Poi:

$ \lambda (4z + y) + \mu (3y -x) = 0 $
$ -\mu x + y( \lambda +3 \mu ) + 4 \lambda z = 0 $

$ n_( \pi) $ = $ ( (- \mu) , (\lambda + 3 \mu) , (4 \lambda) ) $

Per cui adesso dovrei fare:

$ ( (- \mu) , (\lambda + 3 \mu) , (4 \lambda) ) , ( (7) , (0) , (0) ) = 0 $

Pero mi viene $ -7 \mu = 0 $ ... Non capisco non mi torna.. Ho sbagliato o cosa? Grazie

[ciampax]

Hai sbagliato a scrivere il fascio di piani per $r$: i due piani che lo generano sono $4z+y-1=0,\ 3y-x=0$. In ogni caso, visto che il vettore normale rimane lo stesso, se $\mu=0$ significa che il piano che cerchi è proprio $4z+y-1=0$, non ti pare?

[SeleneR]

Ah ok grazie, pensavo di aver sbagliato! Comunque, se avessi una relazione fra $\lambda$ e $\mu$ , come procedo avanti?
Porto come esempio il mio esercizio per spiegarmi:

Per trovare il secondo piano $\pi '$ ho fatto così:

$ v_r = det ((i,j,k),(0,1,4),(-1,3,0)) = -4j -12i +k -> ( (-12) , (-4) , (1) ) $

Poi:

$ \lambda (2y + z) + \mu (3z - y -2) = 0 $
$ 0x + y(2 \lambda - \mu ) + z( \lambda + 3 \mu ) -2 \mu = 0 $

$ n_( \pi ') $ = $ ( (0) , (2 \lambda - \mu) , ( \lambda + 3 \mu) ) $ ->

$ < ( (0) , (2 \lambda - \mu) , ( \lambda + 3 \mu) ) , ( (-12) , (-4) , (1) ) > = 0 $

$ -11 \lambda + 7 \mu = 0 $

$ \mu = 11/7 \lambda $

Da qui come dovrei andare avanti?

[ciampax]

Dunque vediamo: il fascio di piani per $r$ ha equazione
$$\lambda(4z+y-1)+\mu(x-3y)=0\ \Rightarrow\ n_r=(\mu,\lambda-3\mu,4\lambda)$$
mentre la direzione della retta $s$ è $v_s=(7,0,0)$: imponendo l'ortogonalità si ha la condizione $\mu=0$ e quindi il piano $4z+y-1=0$ è il primo.

Analogamente, il fascio di piani per $s$ è
$$\lambda(2y+z)+\mu(3z-y-2)=0\ \Rightarrow\ n_s=(0,2\lambda-\mu,\lambda+3\mu)$$
mentre la direzione di $r$ è $v_r=(-12,-4,1)$ e quindi per l'ortogonalità $-8\lambda+4\mu+\lambda+3\mu=0$ da cui $7\lambda-7\mu=0$ o ancora $\lambda=\mu$. Pertanto il piano risulta
$$\lambda(2y+z+3z-y-2)=0\ \Rightarrow\ y+4z-2=0$$


I piani sono paralleli, visto che hanno gli stessi coefficienti. Sai come calcolare la distanza?

[SeleneR]

Penso di sì, dovrebbe essere:

$ ( |-d + d' | ) / ( sqrt (a^2 + b^2 + c^2) $ da cui:

$ ( | 1 -2 | ) / ( sqrt ( 1 + 16 ) ) = $

$ 1/sqrt17 $

E' corretto? E poi una sola domanda.. Se nel procedimento per trovare i piano avessi trovato ad esempio che $ \lambda = 3 \mu $ come avrei dovuto sostituire? Grazie mille!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[ciampax]

Sempre nello stesso modo: ad esempio avresti avuto
$$\lambda(2y+z)+3\lambda(3z-y-2)=0\ \Rightarrow\ \lambda(2y+z+9z-3y-6)=0$$
e quindi $-y+10z-6=0$

[SeleneR]

G R A Z I E M I L L E !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Adesso ho tutto chiaro, grazie