Testo Esercizio:
Sia $alpha : I rightarrow mathbb{R}^3$ biregolare dove ne $k, tau$ si annullino mai. Mostrare che $C=Im(alpha)$ giace su una sfera di raggio $R$ se e solo se vale la relazione $1/k^2 (1+ (k')/(k^2tau^2)) = R^2$
Proposta di soluzione:
Se: Supponiamo che la curva giaccia su una sfera, allora potremo scriverla come $gamma : I rightarrow S$ come composizione $gamma := F@gamma'$ dove F è una parametrizzazione di $S$ e $gamma'$ una curva in $mathbb{R^2}$.
Possiamo pensare F come la parametrizzazione "canonica" della sfera ed inserire i valori $(x(t),y(t),z(t))$ nell'equazione e vedere che la risolvono. Concludiamo che vale poi per ogni parametrizzazione perchè per una curva biregolare $k, tau$ sono invarianti intrinseci.
Solo se: Qui è più complicato, avevo pensato di impostare un bel sistemino ossia inserire i classici modi di calcolare le curvature nell'equazione ottenendo così un equazione alle derivate parziali che viene risolta dalla parametrizzazione della sfera (è una supposizione, non ho fatto i calcoli). Impostando così l'esercizio però mi ritrovo immerso in un mare di calcoli che mi sembrano troppo complessi per un esercizio da esame. Volevo chiedervi se debbo mettermi l'anima in pace e cercare di ottimizzare le mie capacità di calcolo oppure esistono strade che non sto considerando?
P.S. So che ci sono teoremi che mi garantiscono l'appartenenza ad una n sfera in generale, ma non abbiamo svolto questo teorema e mi è richiesto di completare l'esercizio con le conoscenze che abbiamo appreso a lezione che sulla curvatura, fino a questo punto, sono solamente la sua interpretazione geometrica ed infinitesimale.
