Relazioni vettori-covettori

[ing.nunziom]

Ciao!
Sto cercando di derivare autonomamente un po' di algebra tensoriale, dato che paradossalmente in un corso di ingegneria in cui viene affrontato lo studio della Meccanica dei Solidi e dei Fluidi non si ritiene opportuno.
Ho preso per buona la definizione di spazio vettoriale duale. Meno chiara è la seguente relazione:

$\bar\alpha(\barv)=<\barv,\bar\alpha>$

detta valutazione di $\bar\alpha$ su $\bar\v$. Cioè?

Poi ci sono queste relazioni, di cui ignoro il significato:

$\barv=v^i\bare_ihArrv^i=<\barv,\epsilon^i>$

$\bar\alpha=\alpha_i\epsilon^ihArr\alpha_i=<\bare_i,\bar\alpha>$

Qualcuno potrebbe spiegarmele? Grazie!

[vict85]

La definizione di spazio duale \(V^{\ast}\) è quello dell'insieme delle funzioni lineari da \(\displaystyle V \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) (o \(\displaystyle \mathbb{C} \) se lo spazio vettoriale è complesso).

La valutazione non è altro che l'immagine della funzione \(\displaystyle \alpha \) di \(V^{\ast}\) nell'elemento \(\displaystyle \mathbf{v} \) di \(\displaystyle V \). Insomma \(\displaystyle \langle\alpha, \mathbf{v}\rangle = \alpha(\mathbf{v}) \) dove a destra ha il significato normale. Viene segnato con \(\displaystyle \langle\alpha, \mathbf{v}\rangle \) per le similitudini con il prodotto scalare.

In sostanza \(\displaystyle (\alpha + \beta)(\mathbf{v}) = \alpha(\mathbf{v}) + \beta(\mathbf{v}) \), \(\displaystyle \alpha(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \alpha(\mathbf{v}) + \alpha(\mathbf{w}) \) e \(\displaystyle \lambda \alpha(\mathbf{v}) = \alpha(\lambda\mathbf{v}) \). Le ultime due per la linearità della funzione, la prima per la definizione di somma di funzioni.

Nota inoltre che in dimensione finita si ha che \(\displaystyle (V^{\ast})^{\ast} = V \) e che quindi funzioni ed elementi si confondono molto.

Relativamente all'ultima parte viene usata la notazione di Einstein che io detesto. In sostanza quando gli indici si ripetono sopra e sotto si sottintende una sommatoria. Detto questo il tuo manuale è piuttosto scarso nello spiegare la notazione. In sostanza \(\displaystyle \mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_{i} \} \) è una base di \(\displaystyle V \), \(\displaystyle \mathscr{B} = \{ \varepsilon_{i} \} \) è la base di \(\displaystyle V^{\ast} \) associata/duale a \(\displaystyle \mathcal{B} = \{ \mathbf{e}^{i} \} \) ovvero tale che \(\displaystyle \langle\varepsilon^i, \mathbf{e}_j\rangle = \varepsilon^i(\mathbf{e}_j) = \delta_j^i \) (il delta di Kronecker http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Kronecker).

Siccome quelle due sono delle basi si ha che \(\displaystyle \alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i\varepsilon^i \) e \(\displaystyle \mathbf{v} = \sum_{j=1}^n v^j\mathbf{e}_j \) (univocamente). Pertanto, per la bilinearità della valutazione, si ha che \(\displaystyle \langle\alpha,\mathbf{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n \alpha_i\varepsilon^i, \sum_{j=1}^n v^j\mathbf{e}_j\rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i v^j\langle\varepsilon^i, \mathbf{e}_j\rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i v^j \delta_j^i = \sum_{i=1}^n \alpha_i v^i \)

[ing.nunziom]

Ora è più chiaro. Grazie!

[ing.nunziom]

I covettori sono funzionali lineari?
Un endomorfismo è un tensore del secondo ordine? Di tipo $((2),(2))$?
La possibilità di esprimere i tensori come matrici vale solo per tensori del secondo ordine?

Perdona l'insistenza!