Parametro arbitrario della variabile libera

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Salve a tutti, scrivo per esporvi un esercizio con la mia risoluzione e per chiedere un parere sulla parte finale dello stesso, in particolare sulla "metodologia" con la quale scegliere la variabile alla quale attribuirò il ruolo di parametro libero con coefficiente appartenente all'insieme dei reali (sperando che sia corretto questo procedimento).

Trovare la soluzione generale del sistema differenziale:

$ { ( y'(t) = 6y(t) - 2z(t) ),( z'(t) = -2y(t) + 3z(t) ):} $

Ho calcolato gli autovalori della matrice corrispondente trovando le radici del polinomio caratteristico:

$ A = ( ( 6 , -2 ),( -2 , 3 ) ) $

$ A-lambda I = ( ( 6 - lambda , -2 ),( -2 , 3 - lambda ) ) $

$ det(A-lambda I) = lambda ^2 -9lambda +14 $

risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo:

$ lambda_1 = 7 $
$ lambda_2 = 2 $

ora pongo la condizione $ lambda_1 = 7 $ e vado a sostituire nella matrice ottenendo:

$ ( ( -1 , -2 ),( -2 , -4 ) ) $

se eseguo l'operazione $ R_2 -2R_1 $ (con $ R_2 $ seconda riga e $ R_1 $ prima riga della matrice) ottengo il sistema:

$ { ( -y-2z = 0 ),( 0=0 ):} $

che direi di poter definire "indeterminato".

Il problema sorge qui! Ciò che vorrei fare è porre ad esempio $ z = a $ con $ a in mathbb(R) $ e quindi definire "a" il mio parametro libero della variabile libera per poi trovare una soluzione generale al sistema lineare tramite gli autovettori.

Come valuto qual'è la "variabile libera" a cui poter attribuire il parametro?

Cioè quale criterio uso per dire che $ z=a $ e non vale $ y=a $ ?

Poi direi che ho anche (quasi) compreso come trovare la soluzione generale, ma prima vorrei far luce su questo punto... Poi magari provo a continuare l'esercizio e vi chiedo un parere! Scusate se per caso ho affermato cose inesatte e/o ho commesso imprecisioni, ma studio su questi argomenti da una giornata e sinceramente (come sempre quando analizzo nuovi argomenti) ho le idee sicuramente confuse!!

[pier.paolo]

In questo caso è indifferente. In generale si ragiona in questo modo. Se $Ax = B$ è un sistema lineare di $m$ equazioni in $n > m$ incognite e se $rg A = m$, allora esistono $m$ colonne linearmente indipendenti di $A$. Se si scelgono le altre $n-m$ incognite come parametri, per ogni scelta dei parametri esiste un'unica soluzione del sistema lineare, a causa di un teorema di algebra lineare.
Nel tuo caso, hai un'equazione lineare in 2 incognite ($y+2z=0$). Dunque $A = (1 \ 2)$ ed esiste una colonna linearmente indipendente di $A$. Ad esempio, la colonna corrispondente alla variabile $y$ è non nulla, per cui si può scegliere $z$ come parametro e, per ogni scelta di $z$, hai un'unica soluzione del sistema lineare. Poiché anche la colonna corrispondente a $z$ è non nulla, puoi scegliere $y$ come parametro e per ogni scelta di $y$ hai un'unica soluzione del sistema lineare.

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Ti ringrazio moltissimo!!!