Scrivere un vettore linearmente dipendente al vettore dato

[darakum]

Ciao a tutti,mi sono imbattuto in questo esercizio che penso sia proprio stupido eppure non ho capito il procedimento..Chi mi da una mano?

Scrivere un vettore w ∈ R linearmente dipendente dal vettore v ≡ (1, 3, −4, 2).

So che per essere linearmente dipendente deve avere altre soluzioni a quella nulla..Ma non so come procedere,grazie

[alessandro8]

Ciao.

E' opportuno aver ben presente il concetto di dipendenza lineare dei vettori.

Sia $V$ spazio vettoriale su un campo $K$; dati $v_1,v_2,...,v_n in V$, essi sono linearmente dipendenti se esistono degli scalari $a_1,a_2,...,a_n in K$ non tutti nulli tali che

$a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n=0$, dove $0$ indica il vettore nullo di $V$.

In questa situazione si verifica il fatto che almeno un vettore risulta essere esprimibile come combinazione lineare degli altri.

Dovrebbe essere possibile, a questo punto, sfruttare l'ultima osservazione per dedurre la risposta al quesito posto.

Saluti.

[darakum]

Ciao grazie della risposta..mi sono dimenticato però di scrivere che la soluzione non prevede la considerazione del vettore nullo (0 0 0) per dire che certamente è linearmente dipendente..pertanto il metodo dovrebbe essere un altro..Quale?

[alessandro8]

Ciao.

Ciao grazie della risposta..mi sono dimenticato però di scrivere che la soluzione non prevede la considerazione del vettore nullo (0 0 0) per dire che certamente è linearmente dipendente..pertanto il metodo dovrebbe essere un altro..Quale?

Infatti non ho mai scritto che il vettore da cercare dev'essere quello nullo; sfruttando l'osservazione del mio post precedente

In questa situazione si verifica il fatto che almeno un vettore risulta essere esprimibile come combinazione lineare degli altri.

basterebbe trovare un vettore (non potrà essere quello nullo) che sia combinazione lineare di quello dato, cioè basta un qualunque vettore del tipo $k*(1, 3, −4, 2)$.

Riassumendo: quando si ha a che fare con due soli vettori linearmente dipendenti, l'unica conseguenza possibile è quella per cui un vettore risulta essere multiplo dell'altro; vale anche il viceversa.

Saluti.

[darakum]

Quindi basta moltiplicare una qualunque costante per il vettore dato,svolgere i calcoli e così facendo so che quel risultato è linearmente dipendente al vettore dato? Grazie

[alessandro8]

Quindi basta moltiplicare una qualunque costante per il vettore dato,svolgere i calcoli e così facendo so che quel risultato è linearmente dipendente al vettore dato? Grazie

Esatto.

Ciao grazie della risposta..mi sono dimenticato però di scrivere che la soluzione non prevede la considerazione del vettore nullo (0 0 0) per dire che certamente è linearmente dipendente..pertanto il metodo dovrebbe essere un altro..Quale?

Naturalmente, visto che si vuole avere un vettore non nullo, basta considerare una costante non nulla.

Saluti.

[darakum]

Quindi così... ?

Scrivere un vettore w ∈ R linearmente dipendente dal vettore v ≡ (1, 3, −4, 2).

V= K (1,3,-4,2) ---> v1 = (k, 2K , - 4K , 2K)

In conclusione,v1 (k,2k,-4k,2k) è linearmente dipendente al vettore V (1,3,-4,2).


Giusto oppure c'è qualcosa che non va? Grazie!

[alessandro8]

Ciao.

Quindi così... ?

Scrivere un vettore w ∈ R linearmente dipendente dal vettore v ≡ (1, 3, −4, 2).

V= K (1,3,-4,2) ---> v1 = (k, 2K , - 4K , 2K)

In conclusione,v1 (k,2k,-4k,2k) è linearmente dipendente al vettore V (1,3,-4,2).


Giusto oppure c'è qualcosa che non va? Grazie!

Sbagliato (a causa di un piccolo errore di calcolo nella seconda componente di $v_1$).

Dato il vettore $v =(1, 3, −4, 2)$, si deve prendere un qualunque vettore $w$ del tipo $w=kv=(k, 3k, −4k, 2k)$ (per avere il secondo vettore $w$ non nullo, è sufficiente scegliere $k!=0$).

In questo modo i due vettori saranno linearmente dipendenti.

Infatti, dato $v$ e $w=kv$ (con $k!=0$, anche se questa condizione non sarebbe strettamente necessaria), ponendo

$av+bw=0$ (con $a,b$ scalari opportuni)

si avrebbe

$av+bkv=0$

quindi, scegliendo $a!=0$ e $b!=0$ in modo tale che valga $a=-bk$, si ottiene che la combinazione lineare $av+bw$ si annulla con valori di $a,b$ non nulli, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.

Saluti.