Salve
Vi prego di aiutarmi in questa faccenda...Come da titolo sono alle prese con questo problema.
In particolare devo verificare che gli autospazi generati dai corrispettivi autovettori di una matrice $ A_(3xx3) $ sono invarianti rispetto alle matrici $ B_(3xx3) $ , $ C_(3xx3) $ e $ D_(3xx3) $
Io in generale so che un sottospazio $ U $ dello spazio vettoriale di $ A_(3xx3 $ (o se vogliamo del corrispettivo endomorfismo) è invariante rispetto a una matrice $ B_(3xx3 $ SE e solo se:
$ u_(1xx 3)*B_(3xx 3)=u_(1xx 3)^' $
con $ u,u^'in U $
Ora praticamente come dovrei fare??
Supponiamo che $ B= ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $
e che $ A_(3xx3 $ abbia un autospazio $ U $ di dimensione 2 e che ad esempio sia definito dai vettori base
$ U= {( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) ;( ( -1 ),( 0),( 1 ) )} $
Ora per fare $ u*B $ come dovrei fare?
Cioè che vettore scelgo per l'autospazio $ U $ ??
Il vettore $ u $ che è una combinazione lineare dei vettori base? e gli scalari li devo tenere in formula generica o assegnargli un valore??
Perchè il vettore piu generico di $ U $ che mi definisce tutti i vettori del sottospazio sarebbe $ u= ( ( -alpha-beta ),( alpha ),( beta ) ) $
Ma a sto punto che devo fare? lo lascio cosi e faccio
$ u*B=( ( -alpha-beta ),( alpha ),( beta ) ) * ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $
Oppure questo $ u $ lo devo lasciare espresso come combinazione lineare o cosa?
Cioè non so se è giusto esprimere $ u inU $ per verificare l'invarianza rispetto a un altra matrice (non quella per cui è autospazio) nel modo appena mostrato
Potete chiarirmi solo questo punto? non mi interessano i calcoli ma solo se è giusto il modo di esprimere il vettore u.
GRAZIE!!!!!!!!