Applicazione lineare iniettiva

[bellrodo]

Sia $T: V -> W$ un applicazione lineare tale che $Ker$ $T = {0_v}$. Provare che $T$ è iniettiva.

Allora: se il nucleo di $T$ contiene solo il vettore nullo, vuol dire che il sistema omogeneo associato a $W$ ammette solo la soluzione banale, quindi vuol dire che i vettori, che compongono $W$, sono linearmente dipendenti... giusto?

Però faccio a dimostrarlo?

[alessandro8]

Sia $ T: V -> W $ un applicazione lineare tale che $ Ker $ $ T = {0_v} $. Provare che $ T $ è iniettiva.

Ciao.

La dimostrazione di questa proposizione è facile; conviene sfruttare direttamente il fatto che $T$ è un'applicazione lineare.
In realtà vale anche il viceversa.

Saluti.

[bellrodo]

Ciao.

La dimostrazione di questa proposizione è facile; conviene sfruttare direttamente il fatto che $T$ è un'applicazione lineare.
In realtà vale anche il viceversa.

Saluti.

E come faccio a dimostrare che $T$ è un applicazione lineare senza avere dati nel quesito su cui lavorare?

[alessandro8]

E come faccio a dimostrare che $ T $ è un applicazione lineare senza avere dati nel quesito su cui lavorare?

Devi mostrare l'iniettività, non la linearità dell'applicazione.

Sia $T:V rightarrow W$ applicazione lineare con $KerT = {0_V}$, siano $v_1,v_2 in V$ due vettori qualunque tali che

$T(v_1)=T(v_2)$

Allora

$T(v_1)-T(v_2)=0_W Rightarrow T(v_1-v_2)=0_W Rightarrow v_1-v_2inKerT= {0_V} Rightarrow v_1-v_2=0_V$

Allora $v_1=v_2$, quindi data l'arbitrarietà di $v_1,v_2 in V$, si ha che $T$ è iniettiva.

Prova a dimostrare il viceversa.

Saluti.

[bellrodo]

@alessandro8

grazie per il tuo aiuto alessandro... però purtroppo continuo a non capire (colpa della mia ignoranza) non so come fare per capire al meglio le applicazioni lineari e dimostrare le varie relazioni che mi vengono chieste. Forse è il caso che lascio stare

[alessandro8]

@alessandro8

grazie per il tuo aiuto alessandro... però purtroppo continuo a non capire (colpa della mia ignoranza) non so come fare per capire al meglio le applicazioni lineari e dimostrare le varie relazioni che mi vengono chieste. Forse è il caso che lascio stare

Ma tu in che modo cerchi di apprendere questo argomento? Di quali strumenti ti avvali, se posso sapere?

Saluti.

[bellrodo]

@alessandro8 diciamo che per quanto riguarda le definizioni non ho problemi... mi trovo in difficoltà quando mi viene chiesto di dimostrare qualcosa, come in questo esercizio...

[alessandro8]

La mia domanda era un'altra.
In parole povere: qual è il tuo metodo di studio?

Saluti.

[bellrodo]

La mia domanda era un'altra.
In parole povere: qual è il tuo metodo di studio?

Saluti.

in primis studio la parte teorica; poi faccio esercizi che riguardano l'argomento appena studiato

[alessandro8]

Non so se sia il tuo caso, ma la semplice lettura della parte teorica non è sufficiente per riuscire ad affrontare agevolmente gli esercizi.

Io, ad esempio, dopo aver letto un libro di testo, oppure le dispense e/o gli appunti, prima di provare gli esercizi, verificavo se le mie basi teoriche erano sufficientemente stabili; per fare ciò, dopo la lettura della parte teorica chiudevo il libro e provavo a trascrivere su un quaderno acquistato per l'occasione tutto ciò che mi era entrato nella mente; se ciò che scrivevo non coincideva con tutto ciò che avevo letto (per dimenticanza o per distrazione), rileggevo tutti gli appunti e poi riprovavo a riscrivere tutto ripartendo da capo.

Così è indubbiamente faticoso, soprattutto all'inizio, ma almeno i concetti rimangono meglio impressi nella memoria.

Naturalmente il metodo di studio è soggettivo, ma, comunque, il fatto di riscrivere tutto, secondo me, aiuta davvero a memorizzare le nozioni studiate.

Se non avessi ancora provato questa tecnica, ti consiglierei di farlo; poi, naturalmente, toccherà solamente a te prendere la decisione sul metodo di studio da adottare.

Saluti.