determinante e rango

[chry11]

Ciao,
potete dirmi che legame c'è tra determinante e rango?

[Gold D Roger]

Ciao

$A$ matrice quadrata $nxxn$, $det(A) ne 0 leftrightarrow r(A)=n$; pertanto la matrice è invertibile.

Se $det(A)=0$, allora si prosegue a calcolare il determinanti delle sottomatrici $n-r xx n-r$ ($r in N$) di A; quando troverai una sottomatrice con $det( n-r xx n-r ) ne 0$ allora l'ordine di quella sottomatrice corrisponderà al rango della tua matrice A, che in questo caso non sarà invertibile.

Esempio:

$ A=( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

$det(A) = 0$, $r(A)=2$
in quanto c'è una sottomatrice di ordine $2 xx 2$ che ha determinante diverso da zero: $ ||( 2 , 1 ) ,( 1 , 2 ) || =3$.

[chry11]

è giusto dire che se il determinante è diverso da 0, il rango della matrice è massimo ?
Però intendo qualsiasi matrice (MxN), non soltanto quella quadrata (NxN).

[Gold D Roger]

è giusto dire che se il determinante è diverso da 0, il rango della matrice è massimo ?
Però intendo qualsiasi matrice (MxN), non soltanto quella quadrata (NxN).

Il determinante esiste solo per matrici quadrate!

Comunque sì, per le matrici quadrate il determinante è diverso da zero se e solo se la matrice ha rango massimo.