forma diagonale di una matrice

[chry11]

questa è la matrice:
$ A = ( ( 5 , 0 , 5 ),( 0 , 0 , 0 ),( 5 , 0 , 5 ) ) $
i due autovalori sono:
$\lambda=0$
$\lambda=10$
la matrice è diagonalizzabile.

i) Scrivere una forma diagonale $D$ della matrice.
ii) Scrivere una matrice $P$ tale che $D=P^(-1)*A*P$

[alessandro8]

Ciao.

Dopo aver trovato gli autovalori di $A$, con le rispettive molteplicità, si calcolano i vari autovettori associati.
Una volta fatto ciò, basta che ricordare questo risultato generale:

1) la matrice diagonale $D$ ha gli elementi di diagonale formate dagli autovalori di $A$;
2) la matrice $P$ ha le colonne formate dagli autovettori ordinatamente distribuiti rispetto agli autovalori.

Nell'esempio proposto si aveva:

$lambda_{1,2}=0$, con autovettori associati $(1,0,-1),(0,1,0)$;
$lambda_3=10$, con autovettore associato $(1,0,1)$;

Quindi:

$D=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,5))$

$P=((1,0,1),(0,1,0),(-1,0,1))$

Provando a calcolare $P^-1*A*P$, si dovrebbe ottenere esattamente la matrice $D$.

Saluti.