Alcune domande..

[darakum]

Ciao ragazzi mi aiutate a capire lo svolgimento dei seguenti quesiti? Grazie mille

Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando:

a) La definizione

b) Le trasformazioni elementari

c) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A

d) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori trovare l’inversa di A usando i complementi algebrici e le trasformazioni elementari


chi mi da una mano..?

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Io ho pensato:

a) Secondo la definizione i tre vettori sono linearmente indipendenti se hanno il determinante diverso da 0 (oppure ha solo soluzione nulla) ; mentre sono linearmente dipendenti se hanno il determinante uguale a 0 (oppure ha altre soluzioni oltre a quella nulla) .

Pertanto costruisco la matrice,calcolo il determinante e dico la soluzione.....In questo caso,ho applicato la definizione ?

b) Qui non capisco proprio cosa intende..

c) ???

d) Normalmente per calcolare l'inversa faccio i seguenti passaggi:

- calcolo prima il determinante per vedere se è invertibile o meno
- calcolo la matrice dei cofattori e scrivo cosi la nuova matrice e calcolo la sua trasposta
- moltiplico la matrice ottenuta per lo scalare 1/ det (della matrice iniziale) .


Ma non ho capito come intende che svolga l'esercizio usando i complementi algebrici e le trasformazioni elementari...

Grazie ancora a tutti per l'aiuto!

[alessandro8]

Innanzitutto ciao.

a)La definizione
(...)
a) Secondo la definizione i tre vettori sono linearmente indipendenti se hanno il determinante diverso da 0 (oppure ha solo soluzione nulla) ; mentre sono linearmente dipendenti se hanno il determinante uguale a 0 (oppure ha altre soluzioni oltre a quella nulla) .

La definizione di vettori linearmente indipendenti è quella secondo cui l'unico modo di annullare la combinazione lineare formata dai tre vettori assegnati

$au+bv+cw$

è quello di annullare i tre scalari $a,b,c$; quindi bisogna richiedere che

$a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$

e ricavare $a,b,c$; se la soluzione $a=b=c=0$ è l'unica ammissibile, si ha l'indipendenza lineare dei tre vettori dati; si ha la dipendenza lineare nel caso contrario, cioè se esistono tre scalari non tutti nulli tali che sia vera l'uguaglianza sopra scritta.

b) Le trasformazioni elementari
(...)
b) Qui non capisco proprio cosa intende..

Presumibilmente dovrebbe alludere all'algoritmo di Gauss, con relativo metodo di eliminazione.

c) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A
(...)
c) ???

Si legga il relativo argomento con le proprietà annesse.

d) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori trovare l’inversa di A usando i complementi algebrici e le trasformazioni elementari
(...)
d) Normalmente per calcolare l'inversa faccio i seguenti passaggi:

- calcolo prima il determinante per vedere se è invertibile o meno
- calcolo la matrice dei cofattori e scrivo cosi la nuova matrice e calcolo la sua trasposta
- moltiplico la matrice ottenuta per lo scalare 1/ det (della matrice iniziale) .

Su questo punto dovremmo esserci.

Saluti.

[@melia]

Forse in questo esercizio il (d) non si può applicare perché c'è qualche problema per il calcolo dell'inversa di una matrice rettangolare.

[alessandro8]

Forse in questo esercizio il (d) non si può applicare perché c'è qualche problema per il calcolo dell'inversa di una matrice rettangolare.

Giusto.

Mi ero dimenticato del particolare della matrice non quadrata, scusatemi.
Mia dislessia da orario, probabilmente...

Saluti.

[darakum]

Ciao e grazie ad entrambi per la risposta.


..Pertanto la risoluzione alla prima domanda applicando la definizione è la seguente ?

$a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$

$ ( ( 1),( 0 ),( 2 ),(1) )a + ( ( 0),( 1 ),( 1 ) ,(-1))b + ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),(2))c = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),(0) ) $

$ { ( 4a=0 ),( b=0 ),( 3c=0 ):} rArr { ( a=0 ),( b=0 ),( c=0 ):} $

Pertanto,i tre vettori sono linearmente indipendenti.


Ora però non capisco come eseguire lo stesso esercizio questa volta con le trasformazioni elementari..

[alessandro8]

Ciao.

Direi che non ci siamo: è evidente che non sono state ben comprese le modalità di svolgimento delle operazioni relative agli spazi vettoriali.

I tre vettori dati sono vettori di $RR^4$, quindi il sistema da risolvere dovrà necessariamente avere quattro equazioni e tre incognite.

Saluti.

[darakum]

Ciao.

Direi che non ci siamo: è evidente che non sono state ben comprese le modalità di svolgimento delle operazioni relative agli spazi vettoriali.

I tre vettori dati sono vettori di $RR^4$, quindi il sistema da risolvere dovrà necessariamente avere quattro equazioni e tre incognite.

Saluti.

mmmh Pertanto il modo corretto è.. ?

EDIT:

Effettivamente ho commesso proprio un errore stupido...

$a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$

$ ( ( 1),( 0 ),( 2 ),(1) )a + ( ( 0),( 1 ),( 1 ) ,(-1))b + ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),(2))c = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),(0) ) $

$ { ( a + c=0 ),( b - c =0 ),( 2a + b + c=0 ),( a - b + 2c=0 ):} rArr { ( a= -c ),( 2c =0 ),( -c + b =0 ),( c - b =0 ):}
rArr { ( a= -c ),( c =0 ),( -c + b =0 ),( c - b =0 ):} rArr { ( a= 0 ),( c =0 ),( 0 + b =0 ),( 0 - b =0 ):} rArr { ( a= 0 ),( b =0 ),( c =0 ),(b =0 ):$

[alessandro8]

mmmh Pertanto il modo corretto è.. ?

Siccome si deve porre

$a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$

si ha

$(a+c,b-c,2a+b+c,a-b+2c)=(0,0,0,0)$

che porta al sistema

${(a+c=0),(b-c=0),(2a+b+c=0),(a-b+2c=0):}$

Saluti.

[darakum]

mmmh Pertanto il modo corretto è.. ?

Siccome si deve porre

$a(1,0,2,1)+b(0,1,1,-1)+c(1,-1,1,2)=(0,0,0,0)$

si ha

$(a+c,b-c,2a+b+c,a-b+2c)=(0,0,0,0)$

che porta al sistema

${(a+c=0),(b-c=0),(2a+b+c=0),(a-b+2c):}$

Saluti.

Lo abbiamo scritto in contemporaneo..Grazie per l'aiuto
Pertanto i tre vettori risultano comunque linearmente indipendenti.

Per quanto riguarda il punto due,stessa impostazione dell'esercizio soltanto procedo con l'eliminazione di gauss?

[alessandro8]

Pertanto i tre vettori risultano comunque linearmente indipendenti.

Non ne sarei così sicuro, se fossi in te.
Prova a svolgere il sistema.

Saluti.