dimensione sottospazio vettoriale

[chry11]

Se $W$ è sottospazio di $V$, è possibile che $dimW<dimV$?
se si, scrivere un esempio.
se no, dire perchè.

[Gold D Roger]

Ciao, ti do un piccolo input:

$ text{V spazio fin. generato, W} sube V text{sottospazio, n=dim(V). Allora}$

(a) $ text{W è fin generato} $
(b) $ text{dim(W)} <= text{dim(V)} $
(c) $ text{dim(W) = dim(V)} leftrightarrow text{W=V}$.

[chry11]

quindi la risposta è si, ed è anche ovvia perchè $W sube V$ quindi $dimW <= dimV$
ma l'esempio in base a cosa lo prendo?

[Gold D Roger]

Ad esempio l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in $text{n}$ incognite è un sottospazio vettoriale di $mathbb{R^n}$, prova a farne uno tu di esempio.

[chry11]

non ne ho idea. $x+y+z=0$ ?

[chry11]

La traccia dice : se $dimW<dimV$ allora scrivere un esempio.
ne deduco che devo scrivere un sottospazio $W$ di uno spazio $V$ con $dimW<dimV$
ovviamente $W != V$, ma devo scriverli entrambi
come li scrivo?

[Gold D Roger]

Ad esempio mi hai definito un sottoinsieme di $mathbb (R^3)$ in questo modo

$V={((x),(y),(z)) in mathbb (R^3)$ $ text{tale che}$ $ x+y+z=0}$, generato da $mathcal (L)={((-y-z),(y),(z))=((-1),(1),(0)) , ((-1), (0), (1))}$, per cui V è un sottoinsieme di dimensione due.