Verificare per quali valori di k si ha un SSV

[EveyH]

Ciao, ho fatto tanti esercizi sui SSV ma di questo tipo non me ne era mai capitato, quindi sono un po' confusa.
Considerato lo spazio vettoriale dei polinomi di \(\displaystyle R^2[t] \) determinare per quali valori di k il seguente insieme di polinomi è un SSV di\(\displaystyle R^2[t] \) ed in tal caso se ne calcoli la dimensione.
\(\displaystyle {(k-1)t^2+(k+2)t} \)
Mi viene da rispondere istintivamente che è SSV di R^2[t] per valori di k diversi da 1, perché se k è 1 mi si annulla il termine di secondo grado e quindi non sono più in \(\displaystyle R^2[t] \)...ma mi pare troppo semplice. E per la dimensione?
Posto k diverso da 1 non dovrebbe essere 2?
Grazie.

[Trilogy]

Per essere uno spazio vettoriale, dev'esserci l'elemento neutro della somma, cioè $0$, quindi non tutti gli elementi di $R^2[t]$ sono di secondo grado.

Piuttosto, sei sicura di aver scritto bene? Scegliendo dei valori di $k$ si ottengono dei singoli polinomi, non insiemi o sottospazi vettoriali...

[EveyH]

Sì l'esercizio è corretto, mancava però una "a" a fianco a $t^2$. Cioè $t^2$ è moltiplicato anche per un a.
Ho capito che la mia risposta è sbagliata, ma continuo a non capire bene l'esercizio

[Trilogy]

Okay. Vediamo con calma. Intanto $R$ cos'è? Per il momento faccio finta che sia $\mathbb R$. Poniamo $$V:=\{(k-1)at^2+(k+2)t\mid a\in\mathbb R\}.$$ Vogliamo dimostrare che $V$ sia un sottospazio vettoriale. Quindi dobbiamo porre che, presi due polinomi in $V$, la loro somma sia ancora in $V$. Come controlli questa cosa?
Dopo, l'altra condizione da porre è che, preso un polinomio in $V$ e uno scalare in $\mathbb R$, il loro prodotto sia in $V$.

[EveyH]

Allora dovrei verificare che la somma di due vettori così "formati":
\[ V:=\{(k-1)at^2+(k+2)t\mid a\in\mathbb R\}. \]

stia ancora V, e la moltiplicazione di un qualsiasi scalare per quel tipo di vettore lì mi dà sempre un vettore che sta in V.
Pongo $v1=(k-1)a_1t^2+(k+2)t$ e $v2=(k-1)a_2t^2+(k+2)t$
$v1+v2=(k-1)(a_1+a_2)t^2 + 2(k+2)t$
Ma da qui cosa posso concludere?

[Trilogy]

Il coefficiente di $t^2$ è diventato $(k-1)(a_1+a_2)$, che è della forma buona, visto che $a_1+a_2$ sta in $\mathbb R$.

Il problema è che invece il coefficiente di $t$ non va più bene. È raddoppiato. E per ogni valore di $k$, continua a raddoppiare. L'unico modo perché il ciefficiente di $t$ resti della forma che vogliamo, sommando due polinomi, è che sia uguale a $0$, cioè devi avere $k=-2$.

[EveyH]

Ecco, quello che non capisco è: perché dici "della forma che vogliamo"?
Cioè la condizione posta non è soltanto che $a$ appartenga a $RR$?
E per quanto riguarda la dimensione?

Grazie

[Trilogy]

Il coefficiente di $t$ deve essere $k+2$, per lui la $a$ non gioca alcun ruolo.

Comunque, dopo aver visto la somma, e aver capito che $k=-2$ è una condizione necessaria, bisogna ancora controllare che vada bene con il prodotto per scalari.

Puoi vedere che è ok.

Per quanto riguarda la dimensione, alla fine trovi che l'unico sottospazio vettoriale (ottenuto per $k=-2$) è $$V=\{-3at^2\mid a\in\mathbb R\}.$$ La $a$ assorbe il $-3$, quindi ti trovi con tutti i polinomi del tipo $at^2$. Che dimensione avrà $V$?

[EveyH]

Se quindi fosse stato $(k+2)at$ questo problema non ci sarebbe stato?
Faccio fatica a capire questa cosa...cioè il modo in cui è definito questo SSV. Mi pone solo la condizione del parametro a...ma non dice nulla sul coefficiente di t...perché se raddoppia dovrebbe essere un problema? Non riesco proprio a capirlo.
Comunque sì, bisogna controllare anche la moltiplicazione.
Sia $v1=(k-1)at^2 + (k+2)t $
con k=-2 allora si ha che:
$\lambda*v1=\lambda*(-3at^2)=-3\lambda\at^2$
Da cui possiamo dedurre che non ci sono problemi di sorta...credo.
Non ho capito cosa intendi con "La a assorbe il −3".
In ogni caso V ha dimensione 1, essendo composto da polinomi con un'unica variabile.
Grazie!