esercizio su realzione di grassmann

[bellrodo]

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $5$; siano $U$ e $W$ due sottospazi di $V$ entrambi di dimensione $3$. Determinare $dim$ $(U$ $nn$ $W)$.

Allora per la relazione di grassmann $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-$ $dim$ $(U$ $nn$ $W)$

io conosco la dimensione di $U$ e $W$. Quindi $dim(U+W)=3+3-$ $dim$ $(U$ $nn$ $W)$

Ma come faccio a determinare la $dim(U+W)$ e $dim$ $(U$ $nn$ $W)$ ?


Poi ho un altro dubbio: sia $T$ un applicazione lineare da $V->W$; la $dim(W) + dim(ker(T)) = dim(V)$?

[Gold D Roger]

Sia $T$ un applicazione lineare da $V->W$; la $dim(W) + dim(ker(T)) = dim(V)$?

$T: V to W$, il confronto delle dimensioni afferma che $dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))$

[bellrodo]

Sia $T$ un applicazione lineare da $V->W$; la $dim(W) + dim(ker(T)) = dim(V)$?

$T: V to W$, il confronto delle dimensioni afferma che $dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))$

quindi la relazione che ho scritto è corretta? la $dim(Im(T))$ sarebbe la $dim(W)$ giusto?

[alessandro8]

la $ dim(Im(T)) $ sarebbe la $ dim(W) $ giusto?

Ciao.

Attenzione, ciò è vero solamente se $T$ è suriettiva (e viceversa).

Invece la relazione ricordata da Gold D Roger

$ T: V to W $, il confronto delle dimensioni afferma che $ dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T)) $

costituisce la tesi di un importante teorema, noto come "teorema nullità + rango".

Saluti.

[bellrodo]

grazie a entrambi! invece per quanto riguarda il mio primo quesito sapreste aiutarmi? domani ho un esame di geometria e algebra e ho una confusione pazzesca

[alessandro8]

...per quanto riguarda il mio primo quesito sapreste aiutarmi?

Beh... qui bisogna ragionare su tutti i possibili valori della dimensione che può avere $U+W$.

Siccome, per ipotesi, $dimU=dimW=3$, ne consegue che $dim(U+W)>=3$; d'altra parte $U,W$ sono sottospazi vettoriali di $V$, con $dimV=5$, per cui $dim(U+W)<=5$; quindi i casi possibili sono teoricamante tre:

1) $dim(U+W)=3$

2) $dim(U+W)=4$

3) $dim(U+W)=5$

Da qui, grazie alla formula di Grassmann, dovresti dedurre i possibili valori di $dim(U nn W)$.

Saluti.