esercizio sottospazio vettoriale con parametri

[bellrodo]

Ciao a tutti, avrei un altro problema

Sia $W(a,b)= { (x,y) in RR^2 : a^2x+by^2>=0}$ Per quali $a,b in RR^2$ $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$?

Come devo procere?

Se non ci fossero i parametri saprei come comportarmi, ma purtroppo ci sono... come posso fare?

[alessandro8]

Ciao.

Non devi aver paura dei parametri; come avevo già affermato in un'altra occasione, altro non sono che generici numeri.
Oltretutto in matematica costituiscono uno strumento molto comune e anche estremamente utile in svariate situazioni.

Per risolvere il problema basta tener presenti le condizioni che deve soddisfare un sottoinsieme $W$ di uno spazio vettoriale $V$ (su un campo $K$) per potersi chiamare sottospazio vettoriale; tali condizioni sono elencabili, normalmente, in tre punti.

Conosci queste condizioni?

Saluti.

P.S.

Sia $W(a,b)= { (x,y) in RR^2 : a^2x+by^2>=0}$ Per quali $a,b in RR^2$ $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$?

Immagino si volesse scrivere che $a,b in RR$, o, al limite, che $(a,b) in RR^2$.

[bellrodo]

Per risolvere il problema basta tener presenti le condizioni che deve soddisfare un sottoinsieme $W$ di uno spazio vettoriale $V$ (su un campo $K$) per potersi chiamare sottospazio vettoriale; tali condizioni sono elencabili, normalmente, in tre punti.

Conosci queste condizioni?

Allora:

$Sia$ $W(a,b)={(x,y)∈R2:a2x+by^2≥0}$

$(i)$
$(x_1,y_1) in W;$
$(x_2,y_2) in W.$

$(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2);$

Quindi:
$a^2(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)^2>0$ $-> a^2 x_1 +a^2 x_2 + by_1^2 +by_2^2 + b(2y_1y_2)>0$

$-> a^2 (x_1) + b (y_1^2) + a^2 (x_2) + b (y_2^2) + b (2y_1y_2)>0$

Quindi per $ a in RR$ e $b>0$ è un sottospazio vettoriale

$(ii)$
$(x_1,y_1) in W$
$lamda in RR$

$lamda(x_1,y_1) = lamda x_1 + lamda y_1$

Quindi:
$lamda (a^2 x_1 + by_1^2)>0$ $-> lamda a^2 x_1 + lamda by_1^2>0$

Quindi per $ a in RR$ e $b>0$ è un sottospazio vettoriale

E' corretto?

Immagino si volesse scrivere che $a,b in RR$, o, al limite, che $(a,b) in RR^2$.

si hai ragione ho sbagliato a scrivere; è: $a,b in RR$

[alessandro8]

Ciao.

In generale, avendo uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ e avendo $W sube V$, si ha che $W$ è sottospazio vettoriale di $V$ se valgono queste tre condizioni:

1) $0inW$ (dove $0$ rappresenta il vettore nullo di $V$)

2) $v_1,v_2inW Rightarrow v_1+v_2inW$ (chiusura di $W$ rispetto alla somma di vettori definita in $V$)

3) $k in K,v in W Rightarrow kvinW$ (chiusura di $W$ rispetto al prodotto scalare-vettore definito in $V$)

Quindi hai dimenticato di verificare che $(0,0)inW(a,b)$, ma questa verifica è immediata, poichè è sempre vero che $a^2*0+b*0^2>=0$, per cui $(0,0)inW(a,b)$ indipendentemente da $a,b in RR$.

Altra precisazione: affinchè $W(a,b)$ sia sottospazio vettoriale di $RR^2$ devono essere verificate tutte e tre le condizioni e non una solamente, per cui, quando ci si accorge che una delle tre condizioni è soddisfatta, finchè non sono state verificate le altre due non si può ancora affermare di aver a che fare con un sottospazio vettoriale, come avevi scritto alla fine dei punti (i) e (ii); semmai alla fine del punto (i), qualora verificato, sarebbe stato più corretto affermare che il sottoinsieme è chiuso rispetto alla somma vettoriale.

In merito ai singoli punti, c'è da osservare che...

punto (i)

bisogna vedere se, dati $(x_1,y_1),(x_2,y_2) in W(a,b)$, valga (a conti effettuati) questa disuguaglianza

$a^2 (x_1) + b (y_1^2) + a^2 (x_2) + b (y_2^2) + b (2y_1y_2)>=0$

e non quest'altra

$a^2 (x_1) + b (y_1^2) + a^2 (x_2) + b (y_2^2) + b (2y_1y_2)>0$

Sicuramente, valendo l'ipotesi $(x_1,y_1),(x_2,y_2) in W(a,b)$, risulta vero il fatto che la somma dei primi quattro termini nel membro sinistro della disuguaglianza sia non negativa; c'è, però, il quinto termine $b (2y_1y_2)$ che potrebbe assumere valori negativi, quindi non è affatto scontato che $W(a,b)$ sia chiuso rispetto alla somma vettoriale per tutti i valori di $a,b in RR$.

punto (ii)

La relazione $ lamda(x_1,y_1) = lamda x_1 + lamda y_1 $ è priva di senso; quello che va verificato è:

$lambda in RR, (x_1,y_1)in W(a,b) Rightarrow lambda(x_1,y_1)=(lambdax_1,lambday_1)in W(a,b)$.

Spunto riflessivo aggiuntivo: si potrebbe operare una restrizione sulla coppia $(a,b)$ per avere la garanzia assoluta della chiusura di $W(a,b)$ rispetto alla somma vettoriale; in effetti ci si potrebbe aspettare - alla fine di tutte le verifiche - che $W(a,b)$ sia sottospazio vettoriale di $RR^2$ solo per particolari valori della coppia $(a,b)$ e non per tutti i valori della stessa...

Chiaro?

Saluti.

[bellrodo]

Grazie mille, gentilissimo come sempre!!!

[alessandro8]

Di nulla.

Saluti.

[Martino]

Sia $W(a,b)= { (x,y) in RR^2 : a^2x+by^2>=0}$ Per quali $a,b in RR$ $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$?

Per quali $a,b$ dici. Beh intuitivamente saranno ben pochi. Proviamo a fare delle osservazioni.

Osserva che $(1,0)$ sta in $W(a,b)$ per ogni $a,b$, infatti $a^2 \geq 0$ indipendentemente da $a$. Se $W(a,b)$ è un sottospazio allora anche $-(1,0) = (-1,0) \in W(a,b)$, da cui $a^2(-1) \geq 0$, cioè $a^2 \leq 0$. Questo è possibile solo se $a=0$.

Abbiamo quindi stabilito che se $W(a,b)$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$ allora $a=0$. In particolare si ha

$W(a,b) = W(0,b) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2\ :\ b y^2 \geq 0\}$.

Ora conviene distinguere due casi, $b < 0$ e $b > 0$ (il caso $b=0$ va bene e dà $W(0,0)=\mathbb{R}^2$). Ti lascio continuare.