Applicazioni matriciali

[darakum]

Ciao a tutti..Mi sono imbattuto in questo esercizio,chi gentilmente mi aiuta?

- Data la matrice A,determinare $fA=(1,2,1)$ e $fA^-1 (0,0,1)$ , la dimensione e una base di Ker fA e Im fA.

$A=((-1,2,0),(2,-1,0),(0,0,1))$




La risoluzione dovrebbe essere la seguente:

- Per determinare l'immagine f(v) di un vettore,basta sostituire le sue componenti al posto di x1,x2....xn.

- Per determinare l'immagine inversa fa(w) di un vettore,basta sostituire le sue componenti al posto di x1 ' , x2 ' .... xn ' e risolvere il sistema.

Non ho ben capito bene però,la sostituzione da compiere e se effettivamente la risoluzione è quella giusta..


Grazie!

$A=((a11,a12,a13),(a21,a22,a23),(am1,am2,amn)) ( ( x1),( x2 ),( xn )) = ( ( x1 '),( x2 ' ),( xn ' )) $


-------------------------------------------------------------------------------------

Dovrebbe essere una cosa del genere?

$fA=(1,2,1)$

fA =$((-1,2,0),(2,-1,0),(0,0,1)) ( ( 1),( 2 ),( 1 )) = ( ( x1 '),( x2 ' ),( xn ' )) $


$fA^-1 (0,0,1)$

fA^-1= $((-1,2,0),(2,-1,0),(0,0,1)) ( ( x1),( x2 ),( xn )) = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 )) $

[quantunquemente]

è proprio come hai scritto
perchè hai messo $x_n$ al osto di $x_3$ ?

[darakum]

è proprio come hai scritto
perchè hai messo $x_n$ al osto di $x_3$ ?

Ciao,grazie per la risposta..quindi come devo risolvere il tutto?

[darakum]

Nessuno sa la risoluzione ?

[Della92]

Nessuno sa la risoluzione ?

la $\n$ di $\x_n$ sta per l'ordine del tuo sistema, quindi è uguale a $\3$.
abbiamo quindi un vettore colonna delle $\x$ descritto da $((x_1),(x_2),(x_3))$ e non $((x_1),(x_2),(x_n))$.

Ora come risolvere il problema :

$((−1,2,0),(2,−1,0),(0,0,1))$ $((1),(2),(1))=$$((x_1),(x_2),(x_3))$

da questo ne deriva un sistema di questo tipo

$\{(x_1=(-1)*1 + 2*2 + 0*1),(x_2=2*1+(-1)*2+0*1),(x_3= 0*1 + 0*2 + 1*1):}$

da cui il risultato

$\{(x_1=3),(x_2=0),(x_3=1):}$

il tuo problema è impostare questi sistemi dalla matrice? Prova a risolvere il $\kerA$, ovvero quei vettori che moltiplicati per la tua matrice danno il vettore nullo. Come imposti il problema?

[darakum]

Nessuno sa la risoluzione ?

la $\n$ di $\x_n$ sta per l'ordine del tuo sistema, quindi è uguale a $\3$.
abbiamo quindi un vettore colonna delle $\x$ descritto da $((x_1),(x_2),(x_3))$ e non $((x_1),(x_2),(x_n))$.

Ora come risolvere il problema :

$((−1,2,0),(2,−1,0),(0,0,1))$ $((1),(2),(1))=$$((x_1),(x_2),(x_3))$

da questo ne deriva un sistema di questo tipo

$\{(x_1=(-1)*1 + 2*2 + 0*1),(x_2=2*1+(-1)*2+0*1),(x_3= 0*1 + 0*2 + 1*1):}$

da cui il risultato

$\{(x_1=3),(x_2=0),(x_3=1):}$

Per quanto riguarda ker e im non so da dove iniziare...

il tuo problema è impostare questi sistemi dalla matrice? Prova a risolvere il $\kerA$, ovvero quei vettori che moltiplicati per la tua matrice danno il vettore nullo. Come imposti il problema?

Ciao,grazie per l'aiuto!

Analogamente per $fA^-1$ sarà quindi:

$((−1,2,0),(2,−1,0),(0,0,1))$ $((x),(y),(z))=$$((0),(0),(1))$

$\{(x-2y=0),(2x-y=0),(z=1):}$ $----> {(x=0),(y=0),(z=1):}$

Per quanto riguarda ker fA e im fA non so da dove iniziare...

o quanto meno,la dimensione dell'immagine è uguale al rango di A mentre ker è uguale alla dimensione di V meno l'immagine di f (?)(?)(?)

Nel caso ho detto una cosa giusta il rango della matrice :

$A=((-1,2,0),(2,-1,0),(0,0,1)) ---> A=((-1,2,0),(0,3,0),(0,0,1))$ rg(A) = 3 ---> dim Im fA = 3


Per quanto riguarda il ker dovrebbe essere: dim matrice - dim im fa = 3-3 = 0

Tutto giusto?

[Della92]

ok perfetto. Attenzione al sistema che la prima equazione sarebbe stata $\(-x+2y=0)$ che comunque è uguale a ciò che hai scritto tu.

il $\kerA$ è facilissimo. vuol dire trovare il vettore $\v$ tale che $\A*v=[0,...0]$ ossia al vettore nullo.

Il problema richiede di trovare dimensione e una base per il ker: una volta trovato il rango della matrice e operi in questo modo:

$\dim(ker) = n -rho$, ove con $\n$ indico l'ordine della matrice (nel tuo caso 3), mentre con $\rho$ indico il rango.

Per quanto riguarda una base, sai che la base è composta da tanti vettori quante sono le dimensioni del tuo ker.
Nel tuo caso, essendo la $\dim(ker)= n-3 = 0 $ il problema è risolto e non ha senso ricercare una base.

Quando invece vai a risolvere il problema dell $\Im(f)$, dovresti sapere che $\dim(V)=dim(ker(V)) + dim(Im(V))$.

Quindi ne risulta 3 = 0 + 3. quindi $\dim(Im(V)) = 3$. La base dell' $\Im(f)$ è ovvia, e coincide con le colonne linearmente indipendenti della matrice che rappresenta $\f$.
In questo caso quindi quale sarà una base per $\Im(f))$??

[darakum]

ok perfetto. Attenzione al sistema che la prima equazione sarebbe stata $\(-x+2y=0)$ che comunque è uguale a ciò che hai scritto tu.

il $\kerA$ è facilissimo. vuol dire trovare il vettore $\v$ tale che $\A*v=[0,...0]$ ossia al vettore nullo.

Il problema richiede di trovare dimensione e una base per il ker: una volta trovato il rango della matrice e operi in questo modo:

$\dim(ker) = n -rho$, ove con $\n$ indico l'ordine della matrice (nel tuo caso 3), mentre con $\rho$ indico il rango.

Per quanto riguarda una base, sai che la base è composta da tanti vettori quante sono le dimensioni del tuo ker.
Nel tuo caso, essendo la $\dim(ker)= n-3 = 0 $ il problema è risolto e non ha senso ricercare una base.

Quando invece vai a risolvere il problema dell $\Im(f)$, dovresti sapere che $\dim(V)=dim(ker(V)) + dim(Im(V))$.

Quindi ne risulta 3 = 0 + 3. quindi $\dim(Im(V)) = 3$. La base dell' $\Im(f)$ è ovvia, e coincide con le colonne linearmente indipendenti della matrice che rappresenta $\f$.
In questo caso quindi quale sarà una base per $\Im(f))$??

Ancora grazie per l'aiuto!!

"Per quanto riguarda una base, sai che la base è composta da tanti vettori quante sono le dimensioni del tuo ker.
Nel tuo caso, essendo la $\dim(ker)= n-3 = 0 $ il problema è risolto e non ha senso ricercare una base."

Quindi,quando mi chiede di trovare una base del ker essa è sempre uguale alla $dim (ker)$ ?

Esempio:

Se la $dim(ker)$ = 4-2 = 2 la base del ker era uguale a due?

-----

Per quanto riguarda la base di Im f non mi ricordo come capire se le colonne di una matrice sono linearmente indipendenti/dipendenti..

Ricordo solo che è linearmente indipendente quando il det è diverso da zero mentre dipendente il contrario.

[Della92]

Quindi,quando mi chiede di trovare una base del ker essa è sempre uguale alla $dim (ker)$ ?

Esempio:

Se la $dim(ker)$ = 4-2 = 2 la base del ker era uguale a due?

Attenzione: non ho detto che la base è sempre uguale alla $\dim(ker)$
ho detto che il numero di vettori della base sono tanti quanti la $\dim(ker)$

Nell'esempio che hai fatto, essendo la $\dim(ker) = 2$, allora esistono due vettori linearmente indipendenti che compongono la base.

se la dimensione fosse stata uno, allora esiste un unico vettore che compone la base di $\ker$

La dimensione di uno spazio ti dice il numero sufficiente di vettori in grado di descrivere completamente lo spazio stesso!


-----

Per quanto riguarda la base di Im f non mi ricordo come capire se le colonne di una matrice sono linearmente indipendenti/dipendenti..

Ricordo solo che è linearmente indipendente quando il det è diverso da zero mentre dipendente il contrario.

Per capire se $\n$ vettori sono linearmente indipendenti, procedi così
1) crei una matrice con gli n vettori in colonna, del tipo $((v_1),(v_2),...(v_n))$
2) calcoli il determinante della matrice
3) se il determinante è diverso da zero, allora tutti gli n vettori sono linearmente indipendenti.
3bis) se il determinante è uguale a zero, vuol dire che almeno due vettori degli n sono linearmente dipendenti.

In parola povere:
Sia $\A$ = $((v_1),(v_2),....(v_n))$
ammettiamo che $\v_i$ sia un vettore linearmente dipendente, con $\1<=i<=n$,
ciò significa che presa la seguente matrice:

$((v_1),(v_2),....(v_n))$ allora esiste una combinazione lineare del tipo:

$\v_i= beta_1v_1 + beta_2v_2+ ... + beta_nv_n$ quindi il v_iesimo vettore è esprimibile come combinazione degli altri $\n-1$ vettori. (attenzione che $\beta_i$ sono valori opportuni)

Comunque questo lo puoi trovare su qualsiasi appunto/libro/teoria di algebra lineare.

Buon lavoro

[darakum]

Per capire se $\n$ vettori sono linearmente indipendenti, procedi così
1) crei una matrice con gli n vettori in colonna, del tipo $((v_1),(v_2),...(v_n))$
2) calcoli il determinante della matrice
3) se il determinante è diverso da zero, allora tutti gli n vettori sono linearmente indipendenti.
3bis) se il determinante è uguale a zero, vuol dire che almeno due vettori degli n sono linearmente dipendenti.

Quindi nel mio caso:

A= $((-1,2,0),(2,-1,0),(0,0,1))$

1) In questo caso è la stessa matrice.

2) $|A| = 3 $ Linearmente indipendeti.