Verifica se un'applicazione lineare è isomorfismo

[EveyH]

Ciao, devo verificare quale di queste 3 applicazioni lineari sia un isomorfismo:
a) $F: R^3 -> R^3$ definita da $F(x,y,z)=(x-z,x+2y-z,x-4y-z)$
b) $F: R^3 -> R^2$ definita da $F(x,y,z)=(2x-z,x-y+z)$
c) $F: R^3 -> R^3$ definita da $F(e_1)=2e_1+e_2$, $F(e_2)=3e_1-e_3$, $F(e_3)=e_1-e_2-e_3$

Mi viene che solo la a) è un isomorfismo in quanto è l'unica ad essere biunivoca, cioè sia suriettiva che iniettiva.
Mentre per la b) è immediato verificare perché non può mai essere iniettiva (per via della dimensione del dominio che è maggiore di quella del codominio), per la c) invece ho calcolato il nucleo e non è quello nullo, quindi non è iniettiva.
Vi trovate con queste mie soluzioni?
Grazie!

[alessandro8]

Ciao.

Se non ho sbagliato io qualche conto, l'isomorfismo è l'applicazione del punto (c); infatti mi risulta

$F(x,y,z)=(6x,0,-2z)$, per cui $KerF={(0,0,0)}$.

Per il punto (a) mi risulta $KerF=mathcalL{(1,0,1)}$.

Il punto (b) mi porta alle stesse ovvie conclusioni.

Saluti.

[EveyH]

Ho sbagliato a trascrivere la a), sarebbe questa, che è poi quella su cui ho fatto i conti:
$F: R^3 -> R^3 F(x,y,z)=(x+2z,y+z,z)$
e che mi risulta un isomorfismo.
Mentre per la c) la matrice associata è
$((2,3,1),(1,0,-1),(0,-1,-1))$
a me viene infinite soluzioni dipendenti da 1 parametro, come fa a venirti la soluzione nulla?
Sulla b) siamo d'accordo

[Gi8]

$F: RR^3 -> RR^3$ definita da
$F(e_1):=2e_1+e_2$
$F(e_2):=3e_1-e_3$
$F(e_3):=e_1-e_2-e_3$

Se $v = a *e_1 + b *e_2 +c *e_3$, si ha
$F(v) = F(a* e_1 + b* e_2 +c* e_3)= a F(e_1) + b F(e_2) +c F(e_3)=$
$= a (2e_1+e_2) +b (3e_1-e_3) + c(e_1-e_2-e_3)= (2a+3b+c)e_1+(a-c) e_2 + (-b-c) e_3$

Se $v in \text{Ker}(F)$, allora ${(2a+3b+c=0),(a=c),(b= -c):}=> {(0=0),(a=c),(b= -c):}$
Quindi il nucleo è non banale. Ad esempio $v:=e_1-e_2+e_3 in \text{Ker}(F)$.

[alessandro8]

È vero, nell'ultima ho sbagliato qualche conto, mi dispiace.

Saluti.

[EveyH]

Non apro un altro topic visto che l'argomento è molto simile, poi ditemi voi.
Ho un altro esercizio un po' diverso, che chiede di trovare una base per il nucleo e la dimensione dell'immagine di questa applicazione:

$F: RR^4 -> M_2,_2(RR)$ definita così:
$F(x_1,x_2,x_3,x_4)$=$((x_1-x_3-x_4,x_1+2x_3),(x_1+x_4,0))$
Come procedo?

[alessandro8]

Ciao.

Per calcolare la dimensione dell'immagine basta calcolare il rango della matrice $A_F$ associata all'applicazione lineare $F$ data; per trovare una base del nucleo, si ricava il nucleo stesso ponendo, secondo la relativa definizione

$F(x_1,x_2,x_3,x_4)=((0,0),(0,0))$

Naturalmente, una volta noto il rango di $A_F$ si potrà calcolare preventivamente la dimensione di $KerF$ grazie al teorema nullità+rango.

Saluti.

[EveyH]

Non riuscivo a capire quale era la matrice associata ad F, ho risolto, grazie

[alessandro8]

Ciao.

Personalmente, in casi del genere sfrutterei l'isomorfismo tra $M(m xx n;RR)$ e $RR^(m*n)$; converrebbe, a mio avviso, considerare la seguente applicazione $G:RR^4 rightarrow RR^4$ data da

$G(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_3-x_4,x_1+2x_3,x_1+x_4,0)$

sostanzialmente equivalente a $F$.

Quindi ricaverei una matrice $A_G$, associata a $G$, data da

$A_G=((1,0,-1,-1),(1,0,2,0),(1,0,0,1),(0,0,0,0))$

Saluti.