Determinare dimensione e base

[nadir95]

Salve a tutti,
Tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di algebra e geometria e mi sto esercitando con alcuni esercizi di algebra e geometria solo che non sono sicuro del mio svolgimento poiché non conosco i risultati. Vorrei perciò chiedervi di verificare l'esercizio che mi appresto a riportarvi. Grazie.

Nello spazio vettoriale euclideo canonico R^4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:
U={(x,y,z,w)|2x+4y-5z+3w=3x+6y-7x+4w=5x+10y-11z+6w=0}

V={(1,3,-1,4),(3,8,-5,7),(2,9,4,23)}

Determinare la dimensione di una base di U, V, U+V, U ∩ V

Io ho operato nel seguente modo:
scrivo la matrice U:
\begin{matrix}2 & 4 & -5 & 3 \\ 3 & 6 & -7 & 4 \\ 5 & 10 & -11 & 6 \end{matrix}

la riduco a gradini ed ottengo:
\begin{matrix}2 & 4 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}
quindi la dim(U)=2
e le basi di U sono: {(2,4,-5,3),(3,6,-7,4)}

La matrice V è:

\begin{matrix}1 & 3 & -1 & 4 \\ 3 & 8 & -5 & 7 \\ 2 & 9 & 4 & 23 \end{matrix}
ridotta a gradini diventa:

\begin{matrix}1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Quindi dim(V)=2 e le sue basi sono: {(1,3,-1,4),(3,8,-5,7)}
é giusto fin ora? Se si potreste spiegarmi come trovare dimensione e base di U+V e U ∩ V ?

[alessandro8]

Ciao.

Attenzione, i vettori $(2,4,-5,3),(3,6,-7,4 ),(5,10,-11,6)$ non appartengono affatto al sottospazio $U$.

Valendo, infatti, la seguente definizione di $U$

$U={(x,y,z,w)|2x+4y-5z+3w=3x+6y-7x+4w=5x+10y-11z+6w=0}$
(forse nella seconda condizione doveva comparire $-7z$ al posto di $-7x$...?)

si tratterebbe di risolvere il sistema

${(2x+4y-5z+3w=0),(3x+6y-7x+4w=0),(5x+10y-11z+6w=0):}$

Saluti.

[nadir95]

si hai ragione era -7z e non -7x. Quindi dovrei risolvere questo sistema? Potresti farmi vedere l'intero procedimento per determinare la dimensione e una base di U?

[alessandro8]

Ciao.

Se non ho sbagliato i conti, il sistema

${(2x+4y-5z+3w=0),(3x+6y-7z+4w=0),(5x+10y-11z+6w=0):}$

porta a questo risultato

${(x=-2y),(z=0),(w=0):}$

Allora

$U={(x,y,z,w)|2x+4y-5z+3w=3x+6y-7z+4w=5x+10y-11z+6w=0}$

è equivalente a

$U={(-2y,y,0,0)|y in RR}={y(-2,1,0,0)|y in RR}=mathcalL{(-2,1,0,0)}$

Quindi $dimU=1$, perchè il solo vettore $(-2,1,0,0)$ è sufficiente a generare il sottospazio $U$.

Naturalmente l'insieme $B={(-2,1,0,0)}$ costituisce una base di $U$.

Saluti.