Condizione Sufficiente: Omeomorfismo Locale -> Riverstimento

[j18eos]

@vict85 Due appunti:

1. sì, mi ero già accorto che mi stavo complicando la vita
2. i tuoi primi tre suggerimenti formano un'ovvietà: un punto costituisce sempre un insieme compatto

@edex Pensandoci (un pò meglio): \(\displaystyle f\) dev'essere una funzione suriettiva; da cui ottieni che \(\displaystyle f(X)=Y\).

Seppure \(\displaystyle f\) non fosse suriettiva, con le assunzioni fatte, è suriettiva dalle componenti connesse \(\displaystyle X_i\) di \(\displaystyle X\) sulle componenti connesse di \(\displaystyle Y\) che contengono le \(\displaystyle f(X_i)\): infatti, basterebbe ragionare sui punti di aderenza, utilizzando l'assunzione che \(\displaystyle f\) è un omeomorfismo locale e \(\displaystyle Y\) è uno spazio di Hausdorff. Ma non si avrebbe (in generale) che \(\displaystyle f\) è suriettiva su tutto \(\displaystyle Y\)!

Poi avrei proseguito coi punti 4, 7 e 8 suggeriti da Vittorio.

Torna tutto?

[vict85]

Avete ragione, il caldo sta dando alla testa un po' a tutti.

[vict85]

Nel senso: preso $x \in f^{-1}(y)$ se considero $U_x$ aperto dato dalla definizione di omeomorfismo locale allora $f^{-1}(y) \cap U_x = {x}$ per iniettività di $f$ ristretta a $U_x$. Non vedo come segua anche dal fatto che $X$ è Hausdorff.

Usi in realtà entrambi. Per l'omeomorfismo locale esistono \(W_i\) tale che \(f|W_i\) è omeomorfismo e \(W_i \cap f^{-1}(y) = \{ x_ i\}\). D'altra parte non sono sicuro si abbia necessariamente \(W_i\cap W_j = \emptyset\) (ma forse mi sbaglio). D'altra parte questi aperti ti rendono \(f^{-1}(y)\) un insieme discreto. Per Hausdorff ogni due punti possiedono aperti disgiunti che li separano. Quindi siccome \(f^{-1}(y)\) è discreto allora per Hausdorff posso prendere \(U_i\) disgiunti che separano i vari punti. A questo punto considero \(V_i = W_i\cap U_i\) e \(V = \bigcap f(V_i)\). Allora \(f^{-1}(V)\) ha le caratteristiche cercate.

[Edex]

Ok ci sono su tutto (avevo preso gli stessi aperti $V_i$) però non riesco a capire come faccia $f^{-1}(V)$ ad avere le catatteristiche cercate se non ho la certezza che la sua preimmagine sia tutta contenuta nell'unione dei$V_i$.
Cioè come faccio vedere che è unione disgiunta di aperti omeomorfi a $V$? E quali sono questi aperti? Grazie della pazienza!

[Edex]

Ok giusto per completezza: basta considerare $(\cap f(V_i)) \\ f(X \\ \cup U_j)$
Grazie ad entrambi